Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"

[MagdaW]

Może takie (chyba nietrudne):

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z}\) są parami różne i spełniają równości \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{y}=y+ \frac{1}{z}=z+ \frac{1}{x}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ x \cdot y \cdot z}\)

[pawelsuz]

Może wrzuć rozwiązanie... Bo zamurowałaś topica:d

[Morgus]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{y}=y+ \frac{1}{z} \Rightarrow x-y=\frac{y-z}{yz}}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{z}=z+ \frac{1}{x} \Rightarrow z-x=\frac{x-y}{xy}}\)
\(\displaystyle{ y+ \frac{1}{z}=z+ \frac{1}{x} \Rightarrow y-z=\frac{z-x}{xz}}\)
\(\displaystyle{ (x-y)(z-x)(y-z)=\frac{(x-y)(z-x)(y-z)}{(xyz)^{2}}}\)
Liczby x,y,z są parami różne, więc \(\displaystyle{ (x-y)(z-x)(y-z) \neq 0}\). Mozemy czyli zapisać:
\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{(xyz)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (xyz)^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ xyz=-1 \vee xyz=1}\)

Od razu dam kolejne zadanka. Pierwsze z tych "łatwiejszych":

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^{n}-y^{n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-y}\).

I drugie według mnie trudne... szczerze mówiąc jeszcze nie wiem jak je zrobić

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}\).

[*Kasia]

Pierwsze:    

Dla n nieparzystych: \(\displaystyle{ x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})}\).
Jeśli n jest parzyste, to najpierw \(\displaystyle{ x^n-y^n=(x^{\frac{n}{2}}-y^{\frac{n}{2}})(x^{\frac{n}{2}}+y^{\frac{n}{2}})}\), aż będzie wykładnik nieparzysty i problem sprowadza się do pierwszej części.

[Wasilewski]

Drugie:    

\(\displaystyle{ a - \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2} \\
a^3 - 3a^2 \sqrt[3]{3} + 3a \sqrt[3]{9} - 3 = 2 \\
a^3 - 5 = 3a \sqrt[3]{3}(a - \sqrt[3]{3}) = 3a \sqrt[3]{6} \\
(a^3 - 5)^{3} - 162a^3 = 0}\)
Wobec tego a jest pierwiastkiem wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^3- 5)^{3} - 162x^3}\)
A nietrudno zauważyć, że ma on współczynniki całkowite.

[gribby]

*Kasia, dlaczego trzeba tak kombinować z tymi parzystymi/nieparzystymi?
Jest taki wzór:
\(\displaystyle{ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2} + b^{n-1})}\).
Czemu Twoim zdaniem on nie działa dla liczb parzystych?

[*Kasia]

gribby, słuszna uwaga. Nie zastanowiłam się i pomyliłam ze wzorem na sumę (który działa tylko dla nieparzystych wykładników).

[pawelsuz]

Może by tak jakieś zadanie?

[szymek12]

To może ja coś dodam.
1.Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f:y=[ \frac{ctgx-tgx}{1+cos(4x)}] ^{2}}\).
2. Dla jakich \(\displaystyle{ x \in R}\) szósty wyraz rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ [ \sqrt{2 ^{log(10-3 ^{x}) } }+ \sqrt[5]{2 ^{(x-2)log3} }] ^{7}}\) jest równy \(\displaystyle{ 21}\)?

[pawelsuz]

Jest inny sposób na pierwsze niż zabawa z pochodną?

[xanowron]

Rozwiązanie pierwszego

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (\frac{ctgx-tgx}{1+cos4x})^{2} = (\frac{\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}}{1+cos^{2}2x-sin^{2}2x})^{2} = (\frac{\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sinxcosx}}{2cos^{2}2x})^{2} = (\frac{\frac{cos2x}{sinxcosx}}{2cos^{2}2x})^{2} = (\frac{cos2x}{sinxcosx} \cdot \frac{1}{2cos^{2}2x})^{2}=(\frac{1}{2cos2xsinxcosx})^{2} = (\frac{2}{2cos2x \cdot 2sinxcosx})^{2} =
(\frac{2}{2cos2xsin2x})^{2} = (\frac{2}{2cos2x \cdot 2sin2x})^{2} = (\frac{2}{sin4x})^{2} = \frac{4}{sin^{2}4x}}\)


Ułamek ma wartość najmniejszą gdy mianownik osiąga wartość największą (bo licznik jest stały), a że największa wartość jaką może przyjąć mianownik to \(\displaystyle{ 1}\) więc \(\displaystyle{ f_{min}=4}\)

[rumcajs]

...

[szymek12]

Ok, odpowiedź jest dobra. Teraz twoja kolej.

[gribby]

Jeszcze zad. 2 zostało.

-- 11 lutego 2009, 20:23 --

Mógłby ktoś sprawdzić czy dobra odpowiedź?

Ukryta treść:    

x=2 v x=3

-- 11 lutego 2009, 20:30 --To na tym konkursie nie można mieć żadnych tablic? To niezły hardcore się zapowiada.

[pia.niel]

Jeszcze zad. 2 zostało.

-- 11 lutego 2009, 20:23 --

Mógłby ktoś sprawdzić czy dobra odpowiedź?

Ukryta treść:    

x=2 v x=3

Zła(?). Dla x=3 jest logarytm z -17. A powinien być z liczby dodatniej.

Według mnie, to:

Ukryta treść:    

x=2 v x=0

ale nie mam pomysłu na żadne ciekawe zadanie.