Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Richard del Ferro pisze:Wewnątrz prostokąta ABCD o wymiarach \(\displaystyle{ 8x6}\) wybrano dwa takie punkty, że każdy z nich jest równo oddalony od dwóch sąsiadujących wierzchołków ramion boku
Przy jakiej odległości ??? suma kwadratów odległości między punktami a tymi wierzchołkami oraz między tymi dwoma punktami jest najmniejsza?
Nie będę nic poprawiał, cały czas mowa jest o dwóch punktach, mamy dwa punkty i odległość, więc nie trzeba być Evaristem Galois, żeby wygłówkować, że chodzi o odległość między nimi, co i tak jest równoznaczne z odleglością od tych wierzchołków
Tak samo.
"tymi wierzchołkami"
ok . 13 wyrazów wczesniej "sąsiadujących wierzchołków ramion"
Ramie, mozesz obrac jako bok, bądź....
Nie no szkoda mi czasu, nie to nie.
I proszę o wytlumaczenie czemu moje rozumowanie jest błędne w zadaniu z graczami
Richard del Ferro, co do zadania z graczami, to błąd polegał na tym, że założyłeś, że nas interesuje wyłącznie taka sytuacja, w której pierwszy gracz wylosuje liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\), a drugi wylosuje \(\displaystyle{ 6}\). Jednak dopuszczamy też taką szansę, że żaden z trzech graczy za pierwszym razem nie wylosuje \(\displaystyle{ 6}\) i dopiero w drugiej, trzeciej, czwartej, piątej itd. serii rzutów tak się stanie i dopiero wówczas to doświadczenie się zakończy. Zatem dane prawdopodobieństwo będzie sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, tak jak to kerajs napisał. Przykładowo weźmy taką serię rzutów, w której pierwszy gracz wylosuje \(\displaystyle{ 1}\), drugi wylosuje \(\displaystyle{ 4}\), a trzeci wylosuje \(\displaystyle{ 5}\) - wtedy gra skończy się po przynajmniej dwóch takich turach. Proponuję rozrysować to sobie na drzewku, wtedy wszystko będzie widać (twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym).
Zadanie: Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ n > 2}\), którego suma wszystkich współczynników jest równa \(\displaystyle{ 4}\), a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Oblicz resztę \(\displaystyle{ R(x)}\) z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = (x+1)(x-1)}\).
Jeśli to równanie ma jeden pierwiastek, to niezależnie od wartości \(\displaystyle{ m}\) jest nim \(\displaystyle{ -2}\).
Ukryta treść:
Fakt, powinienem napisać, że trzeba sprawdzić dodatkowo czy jest MOŻLIWA sytuacja, że równanie ma tylko jeden pierwiastek równy \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\).
Jak wiemy, jeżeli suma współczynników przy potęgach parzystych równa się sumie przy potęgach nieparzystych, to pierwiastek tego wielomianu jest \(\displaystyle{ -1}\)
Czyli \(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
Dodatkowo, \(\displaystyle{ W(1)=0}\), wiadomo.
Reszta z dzielenia jest wielomianem stopnia pierwszego, więc postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)
Mamy więc \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-1)(x+1)+ax+b}\)
Dodając stronami \(\displaystyle{ 2b=4}\) \(\displaystyle{ b=2}\)
Stąd \(\displaystyle{ a=2}\)
Ta reszta to \(\displaystyle{ 2x+2}\)czyli \(\displaystyle{ 2(x+1)}\).
/
Zadanie
Prosta k przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych trapezu ABCD przecina jego podstawy AB i CD odpowiednio w punktach E i F .
Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|EB|} = \frac{|CF|}{|FD|}}\).
Ostatnio zmieniony 3 maja 2017, o 18:57 przez Richard del Ferro, łącznie zmieniany 1 raz.
Jeśli przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczymy punkt przecięcie się przekątnych, to \(\displaystyle{ \Delta AEP\sim\Delta CFP}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta EBP\sim\Delta DFP}\), a stąd \(\displaystyle{ \frac{AE}{CF}=\frac{EP}{FP}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{FD}{EB}=\frac{FP}{EP}}\), po pomnożeniu tych równań stronami dostajemy tezę.
Wykaż, że jeżeli w trapez można wpisać okrąg, to okręgi, których średnicami są ramiona tego trapezu, są styczne.
Czy mogłby ktoś rozwiązać JAKKOLWIEK nie znikąd
ZWF : \(\displaystyle{ \sin x^{5}+\cos x^{5}}\)
Używając pochodnej napotykamy funkcję złożoną, w której ciężko określić maksimum i minimum
Bo pare postów wczesniej, to nie wiadomo skąd
Oznaczmy długości ramion trapezu jako \(\displaystyle{ c,d}\) oraz długości podstaw jako \(\displaystyle{ a,b}\). Skoro można w niego wpisać okrąg, to zachodzi \(\displaystyle{ c + d = a + b}\). Środkami okręgów, których średnicami są ramiona trapezu, są środki ramion. Odległość między środkami wynosi \(\displaystyle{ \frac{a
+ b}{2} = \frac{c + d}{2}}\), zatem jest to suma promieni tych okręgów, a z tego już można wnioskować, ze okręgi te są styczne.
mint18, masz może jakieś źródło zadań z elementarnej geometrii podobne do tego, co wrzuciłeś przy zadaniu z ortocentrum trójkąta?
Przekątne ośmiokąta wypukłego mają tę własność, że zadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie. W ilu punktach przecinają się przekątne tego wielokąta?
Richard del Ferro,
tam było \(\displaystyle{ \sin^5 x+\cos^5 x}\), a to duża różnica.
Zauważ, że \(\displaystyle{ |\sin x| \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ |\cos x| \le 1}\), stąd płynie wniosek, że \(\displaystyle{ \sin^5 x \le \sin^2 x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos^5 x \le \cos^2 x}\) i dalej już łatwo, dodajemy to stronami i jedynka trygonometryczna. Pozostaje wskazać, że równość gdzieś zajdzie. Podobnie \(\displaystyle{ \sin^5 x \ge -\sin^2 x}\) itd.
Ogólnie, jeśli \(\displaystyle{ a \in \RR}\) i \(\displaystyle{ |a| \le 1}\), to
dla \(\displaystyle{ p>q>0}\) mamy \(\displaystyle{ -|a|^q \le a^{p} \le |a|^q}\)
Liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} = a + b + c}\) dla \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\). Wyznaczyć maksymalną wartość jaką może przyjąć liczba \(\displaystyle{ a}\) i minimalną wartość jaką może przyjąć liczba \(\displaystyle{ c}\). ( Skrótowo będzie po prostu wyznaczyć min i max z \(\displaystyle{ a , b, c}\) )
Opuśćmy na sekundkę założenie o uporządkowaniu. \(\displaystyle{ \left( a-\frac 1 2\right)^2+\left( b-\frac 1 2\right)^2+\left( c-\frac 1 2\right)^2=\frac 3 4}\)
Każdy składnik po lewej jest nieujemny, więc każdy z nich nie przekracza \(\displaystyle{ \frac 3 4}\),
równość z jednej strony dla \(\displaystyle{ a= \frac{\sqrt{3}+1}{2} , b=\frac 1 2, c=\frac 1 2}\), czyli \(\displaystyle{ \max(a,b,c) \le \frac {\sqrt{3}+1}2}\),
a z drugiej strony dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=\left( \frac 1 2, \frac 1 2, \frac{-\sqrt{3}+1}{2} \right)}\),
stąd \(\displaystyle{ \min(a,b,c) \ge \frac{-\sqrt{3}+1}{2}}\)
bowiem funkcja \(\displaystyle{ f(t)=t^2}\) jest malejąca w ujemnych i rosnąca w dodatnich.
Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym
kąt \(\displaystyle{ BAD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ BC +CD +DB \ge AC}\)
Rozwiązanie wymyśliłem tylko i wyłącznie dzięki uprzejmości Premislava i jego wskazówce...
Ukryta treść:
Niech odbiciem punktu \(\displaystyle{ C}\) względem prostej \(\displaystyle{ AB}\) będzie \(\displaystyle{ C'}\) i względem prostej \(\displaystyle{ AD}\) będzie \(\displaystyle{ C''}\). Trójkąt \(\displaystyle{ AC'C''}\) jest równoramienny i jeden z jego kątów to \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), więc jest równoboczny, zatem \(\displaystyle{ AC = AC' = AC'' = C'C''}\). Dodatkowo \(\displaystyle{ BC' = BC}\) oraz \(\displaystyle{ DC = DC''}\). Odcinki kolejno \(\displaystyle{ C'B, BD, DC''}\) łączą punkty \(\displaystyle{ C'}\) i \(\displaystyle{ C''}\). Najkrótsza droga między punktami, to odcinek je bezpośrednio łączący, więc \(\displaystyle{ C'C'' = AC \le C'B + BD + DC'' = BC + CD + DB}\), co należało pokazać.
Zadanko: Oblicz sinus jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy \(\displaystyle{ 0,4}\).
