VIII edycja Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH"

[Andrzej Andrzej]

I jak wam poszło ? 5 zadanie bardzo mi się spodobało, jednak pomimo tego funkcja nie wyszła mi taka jaka miała być.

[Konradek]

1. Ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ L}\) to \(\displaystyle{ 5}\).
2. \(\displaystyle{ \coś x = -1 \vee \cos x =- \frac{1}{2}}\)
3. \(\displaystyle{ P=28}\)
4. \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\right\rangle}\)
5. \(\displaystyle{ m =0 \Rightarrow y=0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( 0, 1\right) \Rightarrow y= \frac{4}{m}}\)
\(\displaystyle{ m =1 \Rightarrow y=3}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( 1, \infty \right) \Rightarrow y= \frac{2}{m}}\)
6. \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{k}}\)
7. \(\displaystyle{ H=8}\)

[kacpersyn]

Potwierdzam wyniki Konradka, z wyjątkiem zadania 6, którego nie zrobiłem.

[Asapi]

Też potwierdzał te wyniki poza 6, w którym powychodziły mi naprawdę dziwne wyniki

[AndrzejK]

Poda ktoś treści zadań?

[kacpersyn]

[Lukasz19281]

Również zgadzam się z odpowiedziami poza prawdopodobieństwem, którego nie zrobiłem. Zastanawiam się tylko, czy w zadaniu 5, licząc sumę pierwiastków po pozbyciu się wartości bezwzględnej nie należało sprawdzić czy pierwiastki 2 powstałych równań nie pokrywają się?

[kacpersyn]

Mi się wydaje, że nie mogą się pokrywać, ponieważ dla każdego m>0 powstałe równania różniły się tylko wyrazem wolnym (m lub -m). A jeśli dwa trójmiany kwadratowe różnią się tylko wyrazem wolnym, to mają różne miejsca zerowe (o ile istnieją). Chociaż fakt, że lepiej było to napisać :/

[musaraj]

1. Ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ L}\) to \(\displaystyle{ 5}\).
2. \(\displaystyle{ \coś x = -1 \vee \cos x =- \frac{1}{2}}\)
3. \(\displaystyle{ P=28}\)
4. \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\right\rangle}\)
5. \(\displaystyle{ m =0 \Rightarrow y=0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( 0, 1\right) \Rightarrow y= \frac{4}{m}}\)
\(\displaystyle{ m =1 \Rightarrow y=3}\)
\(\displaystyle{ m \in \left( 1, \infty \right) \Rightarrow y= \frac{2}{m}}\)
6. \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{k}}\)
7. \(\displaystyle{ H=8}\)

W zadaniu 2 chyba zjadło cos przy x=-1

W zadaniu 5 mam odwronie przypadki dla\(\displaystyle{ a \in \left( 0,1\right) i m \in \left( 1, \infty \right)}\), co mi się wydaje intuicyjne (suma 4 liczb będzie większa niż suma 2, tak jak 4/m od 2/m).
W 6 zadaniu dodałbym \(\displaystyle{ P(C)= 1 - \frac{1}{{n \choose k}}}\)

Niestety P(B) wciąż pozostaje dla mnie zagadką. Tak samo kwestia zadania 5 - czy m=0 brać pod uwagę w rozwiązaniu, czy nie (czy da się zsumować jedną liczbę?).

No, i mam błąd obliczeniowy w 7. , jestem pewny metody ale wyszło mi 6...

[Lukasz19281]

W 5 jedno równanie ma pierwiastki dla \(\displaystyle{ m\in R}\), a drugie dla \(\displaystyle{ m\in (-1; 1)}\) jeżeli dobrze pamiętam. W tym drugim wyszło \(\displaystyle{ \Delta=4-4m^2}\). Jeżeli chodzi o moją wcześniejszą wątpliwość to racja, nie pokrywają się.

[NogaWeza]

Z ciekawości, jaką metodę obraliście w zdaniu 7? Też mi wyszło \(\displaystyle{ H=8}\) ale ciekaw jestem co do metody.

[Lukasz19281]

Policzyłem tangens kąta między podstawą a dwusieczną kąta między podstawą i tworzącą. Z tego wyznaczyłem tg kąta nachylenia tworzącej w zależności promienia podstawy. Porównałem to z tym samym tangensem zapisanym jako H/r. Z tego wyznaczyłem H i podstawiłem do wzoru na objętość. Potem już tylko pochodna i wyznaczenie H z tego samego porównania. Trochę dziwny ten sposób jak teraz o tym myślę, ale ważne że zadziałał.

[AndrzejK]

Wystarczy wziąć przekrój osiowy i otrzymamy trójkąt równoramienny z wpisanym okręgiem. Wtedy opuszczając promień na ramię okręgu dostajemy \(\displaystyle{ \frac{H-R}{R}=\frac{l}{r}}\) oraz z Pitagorasa \(\displaystyle{ r^2+h^2=l^2}\). Z obu równań możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ l}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), a dalej już wiadomo.

Wie ktoś jak rozwiązać 6 b) i skąd taka odpowiedź w c)?

[Krzychu12321]

W 6c ta liczba po prawej stronie nierówności to suma k pierwszych liczb z tego zbioru, każda inna suma k liczb jest już od niej większa, więc odpada tylko jeden przypadek.

[Konradek]

W zadaniu 2 chyba zjadło cos przy x=-1

Oczywiście. Autokorekta w telefonie poprawiła mi cos na coś i Latex nie odczytuje.

W zadaniu 5., jeśli dobrze pamiętam, po rozbicu wartości bezwzględnej były dwa równania kwadratowe, z czego jedno miało wyróżnik większy od \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ m \in \left( -1, 1\right)}\), a drugie dla każdego \(\displaystyle{ m}\), skąd oba równania miały dwa pierwiastki w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, 1\right)}\).
W 7. wyznaczyłem \(\displaystyle{ r^{2}}\) z podobieństwa trójkątów i funkcja objętości od wysokości wyszła mi \(\displaystyle{ V_{s}(H)= \frac{H^{2}}{H-4}}\)(pomijam współczynnik liczbowy).