[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[Adam656]

kaszubki, możesz wrzucić jakieś inne zadanie bo to stoi kilka dni i chyba nikt nie wie jak się za nie zabrać
Adam

[cyberciq]

Może poczekajmy jeszcze chwilkę, bo np. ja bym chętnie zobaczył rozwiązanie do zadania kaszubki/a.

BTW o co chodzi z tym wpisywaniem miast??

[Adam656]

Wiesz co owszem chętnie bym zobaczył rozwiązanie do tego zadania, ale wolałbym, żeby kaszubki wrzucił jeszcze jedno inne zadanie, żeby coś ruszyło'
Adam

[kaszubki]

Kmiń, a nie narzekaj.

[KPR]

Dobra, macie to rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Jak podniesiemy te obie rzeczy do kwadratu to mamy \(\displaystyle{ 3n+3+2(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+3n+2})}\) i \(\displaystyle{ 9n+8}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+3n+2} <n+\frac{1}{2}+n+1+n+\frac{3}{2}=3n+3}\). Zatem \(\displaystyle{ 3n+3+2(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+3n+2})<3n+3+2(3n+3)=9n+9}\). Z drugiej strony łatwo zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi (można powymnażać i poskracać)\(\displaystyle{ n^2+n \ge(n+\sqrt 2-1)^2}\), \(\displaystyle{ n^2+2n \ge(n+\sqrt 3-1)^2}\) i \(\displaystyle{ n^2+3n+2 \ge(n+\sqrt 6-1)^2}\). Zatem \(\displaystyle{ 3n+3+2(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+3n+2}) \ge 3n+3+2(3n+\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 6-3) > 3n+3+2(3n+2,5) =9n+8}\). Otrzymaliśmy zatem, że \(\displaystyle{ 9n+8<(\sqrt{n} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2})^2<9n+9}\). Zatem między \(\displaystyle{ 9n+8}\) i \(\displaystyle{ (\sqrt{n} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2})^2}\) nie ma kwadratu, c.k.d.

Dane są liczby naturalne m, n, takie, że \(\displaystyle{ m>n}\). Udowodnić, że
\(\displaystyle{ NWW(m,n)+NWW(m+1,n+1)> \frac{2mn}{\sqrt{m-n}}}\).-- 8 gru 2010, o 21:56 --Hej, jakby było za trudne to piszcie

[Vax]

Nie jestem pewien, czy dobrze, ale na razie na nic innego nie wpadłem, więc jbc. piszcie

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ NWW(m,n) + NWW(m+1,n+1) > \frac{2mn}{\sqrt{m-n}}}\)

Zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ m,n \in N}\) oraz \(\displaystyle{ m>n}\) to największa możliwa wartość n to \(\displaystyle{ n=m-1}\) możemy ją podstawić do naszej nierówności, ponieważ funkcja po prawej stronie nierówności dla dowolnego n, \(\displaystyle{ m>n}\) jest rosnąca, więc dla największego argumentu przyjmuje największą wartość, otrzymujemy zatem:

\(\displaystyle{ NWW(m,m-1) + NWW(m+1,m) > \frac{2m(m-1)}{1}}\)

Zauważmy, że 2 kolejne liczby naturalne są względnie pierwsze, tak więc ich NWW jest równa ich iloczynowi:

\(\displaystyle{ m(m-1)+m(m+1) > 2m^2-2m}\)

\(\displaystyle{ m^2-m+m^2+m > 2m^2-2m}\)

\(\displaystyle{ 2m>0}\)

\(\displaystyle{ m>0}\)

Co jest prawdą, ponieważ \(\displaystyle{ m,n \in N \wedge m>n}\) więc najmniejsza wartość m wynosi 1, cnd.

Jeżeli jest prawidłowo, to kolejne:

Udowodnij, że dla dodatnich a,b,c:

\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2} \ge \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}}\)

Pozdrawiam.

[KPR]

Jest źle. Nie udowodniłeś, że lewa strona jest malejąca ze względu na \(\displaystyle{ n}\).-- 12 gru 2010, o 13:24 --To może dwa hinty:

Hint 1:    

\(\displaystyle{ NWD(x,y) \cdot NWW(x,y)=xy}\)

Hint 2:    

AM-GM

[Vax]

Dobra, nic innego niż konkretne spałowanie nie przychodzi mi do głowy

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ NWW(m ; n) + NWW(m+1 ; n+1) > \frac{2mn}{\sqrt{m-n}}}\)

\(\displaystyle{ L \ge m+m+1 = 2m+1}\)

Wystarczy więc udowodnić, że:

\(\displaystyle{ 2m+1 > \frac{2mn}{\sqrt{m-n}}}\)

Oczywiście wszystko dodanie, więc podnoszę do kwadratu:

\(\displaystyle{ 4m^2+4m+1 > \frac{4m^2n^2}{m-n} /\cdot (m-n)}\)

\(\displaystyle{ 4m^3-4m^2n+4m^2-4mn+m-n \ge 4m^2n^2}\)

\(\displaystyle{ 4m^2n^2+n(2m+1)^2-m(2m+1)^2 \le 0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = (2m+1)\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1}}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ n\ge 0}\) więc:

\(\displaystyle{ n\in \left < 0 ; \frac{-4m^2-4m-1+(2m+1)\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1}}{8m^2}\right>}\)

Wystarczy więc tylko udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{-4m^2-4m-1+(2m+1)\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1}}{8m^2} < m}\), wtedy \(\displaystyle{ n < m}\) a to będzie spełnione przez założenie:

\(\displaystyle{ \frac{-4m^2-4m-1+(2m+1)\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1}}{8m^2} < m /\cdot 8m^2}\)

\(\displaystyle{ -4m^2-4m-1+(2m+1)\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1} < 8m^3}\)

\(\displaystyle{ 8m^3+4m^2+4m+1-(2m+1)\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1} > 0}\)

Łatwo zauważyć, że miejscem zerowym danej funkcji jest \(\displaystyle{ m=0}\), licząc pochodną danej funkcji wychodzi nam:

\(\displaystyle{ f'(m) = 24m^2-2\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1} - \frac{(2m+1)(48m^2+8m+4)}{2\sqrt{16m^3+4m^2+4m+1}} + 8m + 4}\)

Z czego również zauważamy, że \(\displaystyle{ f'(m) = 0 \Leftrightarrow m=0}\) Stąd już łatwo dojść do wniosku, że \(\displaystyle{ f(m) > 0 \Leftrightarrow m > 0}\) a to jest zgodne z założeniem (\(\displaystyle{ m,n \in N \wedge m>n}\))

Pozdrawiam.

[Sylwek]

Nierówność, którą starasz się udowodnić:
\(\displaystyle{ 2m+1 > \frac{2mn}{\sqrt{m-n}}}\)

Jest zupełnie nieprawdziwa, nawet na intuicję: \(\displaystyle{ \frac{2m+1}{2m} > \frac{n}{\sqrt{m-n}}}\), lewa strona bliska 1 dla dużych m, dla n=m-1 i dużych m prawa strona dowolnie duża. Tak to jest, jak zamiast użyć powyższych podpowiedzi, używa się zupełnie bezmyślnie niedostosowanego do poziomu zadania aparatu matematycznego.

[Vax]

Ok, niepotrzebnie próbuję to robić innymi sposobami, jak kogoś interesuje, to może podam, do czego na razie doszedłem, może ktoś zauważy, jak to łatwo można dokończyć

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ NWW(m ; n) + NWW(m+1 ; n+1) > \frac{2mn}{\sqrt{m-n}}}\)

Teraz z am-gm mamy:

\(\displaystyle{ L \ge 2\sqrt{NWW(m ; n)\cdot NWW(m+1 ; n+1)} = 2\sqrt{\frac{mn}{NWD(m;n)}\cdot \frac{(m+1)(n+1)}{NWD(m+1;n+1)}} > 2\sqrt{\frac{m^2n^2}{NWD(m ; n)\cdot NWD(m+1 ; n+1)}} = \frac{2mn}{\sqrt{NWD(m;n)\cdot NWD(m+1;n+1)}}}\)

Wystarczy więc udowodnić, że:

\(\displaystyle{ NWD(m;n)\cdot NWD(m+1;n+1) \le m-n}\)

Korzystając z algorytmu Euklidesa mamy:

\(\displaystyle{ NWD(m-n ; n) \cdot NWD(m-n ; n+1) \le m-n}\)

I tutaj się zatrzymuję Żeby nie było, C++ mówi, że dla \(\displaystyle{ m,n \in N \wedge m\in <1 ; 10000> \wedge n<m}\) jest to prawda, więc raczej jest ok, tylko trzeba to udowodnić

Pozdrawiam.

[Sylwek]

Póki co bardzo ładnie.

Hint 3:    

Co możesz powiedzieć o wspólnych dzielnikach właściwych liczb: \(\displaystyle{ NWD(m-n ; n)}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(m-n ; n+1)}\)?

[edit] kolega poniżej wyręczył gimnazjalistów

[SaxoN]

Vax, praktycznie rozwiązałeś zadanie. Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ ((m-n,n),(m-n,n+1))=1}\) (nawias i dwa wyrażenia oddzielone przecinkiem to największy wspólny dzielnik tych wyrażeń, żeby się nikt nie czepiał). To nie jest megatrudne spostrzeżenie, NWD tych dwóch NWD (:P) musiałoby dzielić liczby \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ n+1}\), które są względnie pierwsze. Mamy więc iloczyn dwóch względnie pierwszych dzielników liczby \(\displaystyle{ m-n}\)- to już raczej oczywiste, że nie może przekroczyć on tej liczby, ale jakby ktoś nie wierzył, to może sobie to rozpisać. A jakby ktoś miał problem z rozpisaniem, to ja mogę się machnąć i to napisać

[Vax]

@SaxoN dzięki, za dokończenie, sam próbowałem to robić jakoś inaczej (oznaczałem jedno nwd jako d, drugie e i coś tam kombinowałem ) a o najprostszym sposobie nie pomyślałem

Pozdrawiam.

[laurelandilas]

Rozwiązanie nierówności Vaxa:
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}}{b^{2}} + \frac{b^{3}}{c^{2}} + \frac{c^{3}}{a^{2}} \ge \frac{a^{2}}{b^{1}} + \frac{b^{2}}{c^{1}} + \frac{c^{2}}{a^{1}}}\) |* \(\displaystyle{ a^{2}b^{2}c^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{5}c^{2} + b{5}a^{2} + c^{5}b^{2} \ge a^{4}bc^{2} + b^{4}a^{2}c + c^{4}ab^{2}}\)
Weźmy a,b,c = x, ujednorodnijmy; abc=1
\(\displaystyle{ a^{5}c^{2} + b^{5}a^{2} + c^{5}b^{2} \ge abc(a^{3}c + b^{3}a + c^{3}b)}\)
\(\displaystyle{ a^{5}c^{2} + b^{5}a^{2} + c^{5}b^{2} \ge a^{3}c + b^{3}a + c^{3}b}\)
\(\displaystyle{ a^{3}c^{2} + b^{5}a^{2} + c^{5}b^{2} - (a^{3}c + b^{3}a + c^{3}b) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a^{3}c(a^{2}c - 1) + b^{3}a(b^{2}a - 1) + c^{3}b(c^{2}b - 1) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a^{3}c \ge 0 , b^{3}a \ge 0 i c^{3}b \ge 0}\) muszę pokazać, że :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}c - 1 \ge 0 \\ b^{2}a - 1 \ge 0 \\ c^{2}b - 1 \ge 0 \end{cases}}\)
Przenosząc -1 na drugie strony nierownosci i mnozac stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (abc)^{3} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge 1}\)
co jest prawda, a stad wynika teza.

Jezeli jest okej, to moje zadanie(dla odmiany troszeczke prostsze):
Liczba naturalna zapisana w systemie dziesietnym abcdef jest podzielna przez 13. Wykazac, ze rowniez liczba defabc jest podzielna przez 13

[KPR]

No bez przesady z tym zadaniem... chyba możecie wstawiać trudniejsze.