III Edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH

[Marzycielka]

W zadaniu z windą trzeba było zapisać takie równania
(do dołu) \(\displaystyle{ pS+ 0,5mg = mg}\)
(do góry) \(\displaystyle{ pS - 0,5mg = mg}\)?

[siegfriedek]

jakie macie wyniki?
oto moje:

Ukryta treść:    

zadania za 10
1. stosunek objętości stożka do kuli wpisanej w ten stożek : 2
2. zadanie z funkcjami wykładniczymi : 3
3. nie pamiętam o czym było
4. granica ciągu: 5/3

zadania za 20
5. styczne : \(\displaystyle{ y= \sqrt{3}x \vee y= -\sqrt{3}x}\)
6. funkcja: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{x+2} Df = (-1,+ \infty )}\)
7. prawdopodobieństwo: \(\displaystyle{ P(A)= 1- \frac{1}{n} ;
P(B) = \frac{1}{6} ;
P(C) = 2 \frac{[( \frac{n}{2})!]^{2} }{n!}}\) n- parzyste
\(\displaystyle{ P(C) = \frac{[\frac{(n+1)}{2}]! \cdot [\frac{(n-1)}{2}]!}{n!}}\) n - nieparzyste

[Azai]

1, 2, 4, 5, 6, 7ac tak samo (w zasadzie w 4 pomyliłam się w potęgowaniu i mam 5/2, ale powinno być 5/3 )

Pozostałe:

Ukryta treść:    

3- trygonometria- \(\displaystyle{ \frac{-3sqrt7}{8}}\) o ile dobrze kojarzę
5 Wydaje mi się, że dalej było tak: (ale pamięć mam dobrą, ale krótką, także mogło być inaczej ;D)
obraz okręgu \(\displaystyle{ (x - 4)^2 + (y + 4)^2= 36}\)
obraz jednej ze stycznych \(\displaystyle{ y= -sqrt3 \cdot x + 4sqrt3 + 8}\)
7b \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n-1)}}\) chyba, albo coś w ten deseń

[nikasek11]

Czy ktoś może wie kiedy będą wyniki? Albo ile trzeba było na nie czekać w zeszłym roku?

[Azai]

Czy ktoś może wie kiedy będą wyniki? Albo ile trzeba było na nie czekać w zeszłym roku?

Finał ma być pod koniec marca, więc pewnie na początku, albo w połowie marca.
Nie pamiętam ile trzeba było czekać na wyniki w zeszłym roku, ale wtedy finał był jakoś w kwietniu chyba.

[misq23]

a czy w siódmym nie należało wziąć pod uwagę jeszcze kwestii czy ciąg rozpoczyna się od parzystej czy nieparzystej ?

ale żal po tym drugim etapie... echhhh, poległem na umiejętności dodawania i odejmowania
nie wie ktoś czy są punkty jeśli wykona się złe obliczenie a zadanie kontynuuje się poprawnym sposobem z wykorzystaniem tej pomyłki ?

[Azai]

a czy w siódmym nie należało wziąć pod uwagę jeszcze kwestii czy ciąg rozpoczyna się od parzystej czy nieparzystej ?

Należało, gdy wyrazów była parzysta ilość. Kolega wziął pod uwagę, stąd jest:
\(\displaystyle{ P(C) = 2 \frac{[( \frac{n}{2})!]^{2} }{n!}}\)

Gdy wyrazów jest nieparzysta ilość to ciąg musi się zaczynać i kończyć nieparzystą, także problemu nie ma .

ale żal po tym drugim etapie... echhhh, poległem na umiejętności dodawania i odejmowania
nie wie ktoś czy są punkty jeśli wykona się złe obliczenie a zadanie kontynuuje się poprawnym sposobem z wykorzystaniem tej pomyłki ?

Ja na potęgowaniu . Na szczęście w jednym zadaniu.
Pewnie "jakieś" punkty są... Ale jakie, to tylko sprawdzający raczy wiedzieć .

[*Kasia]

Dlaczego w siódmym przy parzystym n uwzględniacie tylko 2 możliwości? A np. następujący ciąg:
n, p, n, p, p, n, p, n, gdzie n - nieparzysta, p - parzysta?

A ja poległam na obustronnym dzieleniu przez 3.

[ADiX26]

Pytanie mam Czy do szkół przychodzą wyniki tylko, gdy dostaje sie do kolejnego etapu? W tym przypadku do III? Czy nawet jak bedzie sie miało poniżej 70% to coś przyjdzie?

[Azai]

Kasia, dobra, ten ciąg popsuł mi koncepcję ... Hm, a to zadanie wydawało się na prawdę nieskomplikowane. Cóż, będzie kilka punktów do tyłu.
W takim razie ile wynosiła moc C :>?

ADiX26, w poprzednich latach było tak, że wszyscy dostawali swoje wyniki. Pewnie i w tym roku tak będzie.

[*Kasia]

Azai, ja mam:
\(\displaystyle{ \frac{[(\frac{n}{2})!]^2\cdot \frac{n+2}{2}}{n!}}\), ale pewna tego wyniku nie jestem.

[Azai]

Szczerze mówiąc, to nie bardzo umiem teraz zrozumieć skąd się wziął Twój wynik.

Na pewno wszystkie przypadki, gdzie liczby o takiej samej parzystości nie sąsiadują ze sobą to \(\displaystyle{ 2[( \frac{n}{2} )!]^2}\).
Zostają ciągi, którego przykład podałaś. Myślenie mnie już dzisiaj boli , tyle udało mi się wymyślić:
Mamy \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) liczb parzystych i tyle samo nieparzystych. Zaczynamy ciąg od liczby nieparzystej i kończymy na nieparzystej. Gdzieś w środku znajdują się dwa wyrazy parzyste, które sąsiadują ze sobą. Te dwa wyrazy możemy wybrać i ustawić w parze na \(\displaystyle{ \frac{n}{2} ( \frac{n}{2} - 1)}\) sposobów. Traktując te wyrazy jako nierozerwalną parę mamy \(\displaystyle{ \frac{n}{2} -1}\) parzystych "części" do ustawienia pomiędzy nieparzystymi.
Czyli jest: \(\displaystyle{ \frac{n}{2} ( \frac{n}{2} - 1) ( \frac{n}{2} - 1)!( \frac{n}{2})!}\) takich ciągów.

Dla \(\displaystyle{ n= 4}\), się sprawdza, \(\displaystyle{ 2*1*1*2!= 4}\) (dla \(\displaystyle{ n > 4}\) nie podejmuje się sprawdzać ).

Czyli wyszło, że \(\displaystyle{ |C|= 2[( \frac{n}{2} )!]^2 + \frac{n}{2} ( \frac{n}{2} - 1) ( \frac{n}{2} - 1)!( \frac{n}{2})!}\)

Szczerze mówiąc, wygląda na bardzo przekombinowane przy tym co Ty podałaś ...

[*Kasia]

Ja na konkursie rozpisałam sobie dla kilku początkowych i wyszło mi, że dla n=2k, jest k-1 takich ciągów.
Np. k=4:
nppnpnpn
npnppnpn
npnpnppn
trzy ciągi, \(\displaystyle{ k-1=\frac{n}{2}-1}\)
Teoretycznie mogłam się pomylić przy upraszczaniu, ale nie wiem...

[kluczyk]

A nie lepiej było zbadać zdarzenie przeciwne? Tzn takie umiejscowienie liczb w ciągu, że układamy obok siebie specjalnie od razu 2 liczby nieparzyste...

[*Kasia]

kluczyk, możesz napisać dokładniej, bo jakoś tego nie widzę? Nie bardzo mam pomysł, jak to policzyć, nie powtarzając niektórych zdarzeń elementarnych...