Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"

[pawelsuz]

Hm, ciekawe zadanie:)
Coś wymyśliłem i wydaje mi się, że jest to poprawne, ale pewnie da się to uprościć, więc Morgus, jeśli możesz to popraw mnie:D

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \Omega={2n\choose 2k}=\frac{(2n)!}{(2k)! \cdot (2(n-k))!}}\)

\(\displaystyle{ A= {n \choose 2k} = \frac{n!}{(2k)! \cdot (n-2k)!}}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{(2(n-k)! \cdot n!}{(n-2k)! \cdot (2n)!}}\)

Opcja ukrywania została po coś wprowadzona - nie odbieraj zabawy innym, którzy będą chcieli rozwiązywać.

[Morgus]

Niestety rozwiązanie poprawne nie jest, nie wziąłeś pod uwagę jednego szczegółu.

Ukryta treść:    

Przypuszczam, że zapisałeś moc A w postaci \(\displaystyle{ {n \choose 2k}}\), gdyż rozumowałeś, że ze zbioru butów bez pary (których jest n) wyciągasz 2k butów. Zauważ jednak, że ten zbiór n-elementowy, nie jest jakby "stały". Gdyż w zbiorze n butów może być n-1 lewych butów i 1 prawy but. Może być także n lewych butów albo n prawych butów. I w każdym przypadku będzie tak, że otrzymamy zbiór n butów bez pary, z których możesz wyciągać 2k butów... Mam nadzieję że w miarę jasno przekazałem, to co chciałem.

[*Kasia]

No to może ja też spróbuję:

Ukryta treść:    

Wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ {2n\choose 2k}=\frac{(2n)!}{(2k)!\cdot (2n-2k)!}}\)

Sprzyjających: \(\displaystyle{ {n\choose 2k}\cdot 2^{2k}}\) - wybieramy k butów spośród n, potem uwzględniamy, że mamy po dwie możliwości.

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{(2k)!\cdot (2n-2k)!\cdot n!\cdot 2^{2k}} {(2n)!\cdot (2k)!\cdot (n-2k)!}= \frac{(2n-2k)!\cdot n!\cdot 2^{2k}} {(2n)!\cdot (n-2k)!}}\)

Chociaż muszę przyznać, że ciągle mi coś nie pasuje...

[pawelsuz]

Niestety rozwiązanie poprawne nie jest, nie wziąłeś pod uwagę jednego szczegółu.

Ukryta treść:    

Przypuszczam, że zapisałeś moc A w postaci \(\displaystyle{ {n \choose 2k}}\), gdyż rozumowałeś, że ze zbioru butów bez pary (których jest n) wyciągasz 2k butów. Zauważ jednak, że ten zbiór n-elementowy, nie jest jakby "stały". Gdyż w zbiorze n butów może być n-1 lewych butów i 1 prawy but. Może być także n lewych butów albo n prawych butów. I w każdym przypadku będzie tak, że otrzymamy zbiór n butów bez pary, z których możesz wyciągać 2k butów... Mam nadzieję że w miarę jasno przekazałem, to co chciałem.

No racja, zapomniałem:/

[Wasilewski]

Pozwolę sobie upewnić *Kasię:

Ukryta treść:    

Wybieramy l butów lewych i 2k-l prawych. Możemy tak zrobić dla dowolnego l od 0 do 2k, stąd możliwości jest:
\(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{2k} {n \choose l} {n - l \choose 2k-l}}\)
Przy czym:
\(\displaystyle{ {n \choose l} {n-l \choose 2k-l} = \frac{n!}{l! (n-l)!} \cdot \frac{(n-l)!}{(2k-l)! (n-2k)!} \cdot \frac{(2k)!}{(2k)!} = {n \choose 2k} {2k \choose l}}\)
Zatem nasza suma jest równa:
\(\displaystyle{ {n \choose 2k} \sum_{l=0}^{2k} {2k \choose l} = {n\choose 2k} 2^{2k}}\)

[*Kasia]

A ja mam dwa pytania odnośnie konkursu do osób, które pisały rok temu:
Ile teoretycznie czasu było rok temu (i ile w praktyce było potrzebne, choć to może się bardzo zmienić od ubiegłego roku)?
Czy była możliwość wyjścia wcześniej?

[Morgus]

Odpowiedzi *Kasi i Wasilewskiego są poprawne

Co do pytań *Kasi to pisałem rok temu i wydaje mi się, że była godzina zegarowa na wszystkie zadania, chociaż głowy nie dam (dawno to było ^.^). Pozwalali chyba wcześniej wychodzić... Rok temu ktoś, kto znał cały materiał to spokojnie 15min przed czasem mógł skończyć (ale podkreślam że nie pamiętam ile owego czasu dokładnie było).

P.S. Niech ktoś zarzuci kolejne zadanie

[szymek12]

Mi się wydaje że były 2 godziny(od 10 do 12), potem godzina przerwy i fizyka(13-15). A na zrobienie wszystkich zadań o wiele za mało czasu (nie są one trudne, ale strasznie pracochłonne). Nie ma nawet czasu na zastanowienie. Należy zacząć od razu pisać rozwiązanie.Wychodzić można oczywiście wcześniej.

[nikasek11]

Ktoś pisze w KRK?

[pawelsuz]

To może zapodam jakieś zadanka:
1)Udowodnij, że jeśli wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+px+q}\)
ma trzy pierwiastki rzeczywiste, to p jest liczbą ujemną.

2)Uzasadnij, że równanie
\(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2006^{3}}\)
nie ma pierwiastków całkowitych.

3) banalne:
Znaleźć wszystkie liczby naturalne, dla których \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) jest liczbą pierwszą.

[limes123]

1. Niech xi beda pierwiastkami
\(\displaystyle{ \sum x_i^2=(\sum x_i)^2-2\sum x_ix_j=0-2p}\) i stad juz latwy wniosek, ze p jest ujemne.
2. Lewa strona podzielna przez 3 prawa nie.

[allure]

Zad.1.
\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=x^{3}-(a+b+c) \cdot x^{2} +(ab+bc+ca) \cdot x - abc}\)

Z warunków zadania wynika, że: \(\displaystyle{ a+b+c=0}\)

A dalej idzie tak: \(\displaystyle{ (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca) \Rightarrow p=ab+bc+ca=- \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\)

Co daje, że p jest ujemne.

Zad. 2. modulo 3 wystarczy sprawdzic.

[mnij]

te zadanka to bodajże z zestawów maturalnych Kiełbasy ;d tak jak siadłem dzis na zestawie z zeszłego roku to od ręki prawie wszystko poza prawdopodobieństwem. tego coś nie mogę ogarnąć ;p ale czuję że w tym roku będzie trudniej. Ja pisze w KRK :]

[MagdaW]

Ad.3 (to ja się wezmę za "banalne" dla formalności )
\(\displaystyle{ n ^{4}+4=(n ^{2}+2) ^{2} -(2n) ^{2}=(n ^{2}+2-2n)( n ^{2}+2+2n) \Rightarrow n ^{2}-2n+2=1 \Rightarrow n=1}\)

[pawelsuz]

Rozwiązaliście, więc poproszę o zadanka jakieś:P