Matura z matematyki 2016 - poziom rozszerzony

[mint18]

To może powiedz nam chociaż jaką krzywą rozważałeś.

[pafcjo]

OK, może ktoś mi tutaj pomoże, bo nie mogę przestać o tym myśleć. Ile mogę stracić punktów za następujące błędy:

1. W zadaniu 12. (za 6 pkt.) przekształciłem nierówność w następujący sposób:
\(\displaystyle{ |x_1 + x_2| < 3 \Rightarrow x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 < 3}\)

(druga strona nierówności niepodniesiona do kwadratu, dalej rozumowanie jest jak najbardziej prawidłowe, a zadanie doprowadzone do końca)

2. W zadaniu 15. (również za 6 pkt.) zamiast podanej wysokości \(\displaystyle{ H=5}\), rozwiązałem zadanie dla \(\displaystyle{ H=6}\)

(źle przepisane dane, niewpływające jednak na charakter zadania (z tego co pamiętam to nawet objętość wyszła całkowita: \(\displaystyle{ V=288}\), nie doszukiwałem się zatem błędów w rozumowaniu))?

[lucanetti]

Domyślam się,że w zadaniu 8 ta interpretacja geometryczna będzie mniej punktowana jako,że nie trzeba się przy tym narobić
Rzeczywiście, jak wykorzystał ktoś nierówność Cauchy'ego, tak jak to napisałem na blogu

Kod: Zaznacz cały

http://maturanamaxa.blogspot.com/2016/06/matma-2016-pr.html

,to zadanie to skraca się maksymalnie, a jest ładnie pokazane,że z \(\displaystyle{ x^2+y^2=2}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ x+y\leq 2}\)

Zadanie to można jeszcze inaczej zrobić tzn. gdyby ktoś nie użył nierówności Cauchy'ego dla n=2 \(\displaystyle{ \left (\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\right )}\), to można wyjść od \(\displaystyle{ y=\sqrt{2-x^2} \rightarrow xy=x\cdot \sqrt{2-x^2} \rightarrow xy=\sqrt{x^2\cdot (2-x^2)} = \sqrt{2x^2-x^4}}}\) i na podstawie otrzymanej funkcji po prawej stronie (\(\displaystyle{ \sqrt{2x^2-x^4}}\)), można wykazać,że ma ona ekstremum - max dla x=1, czyli ostatecznie też otrzymamy tę zależność,że \(\displaystyle{ xy\leq 1}\), choć w tym przypadku przeprowadzenie dowodu będzie znacznie dłuższe :/

-- 12 cze 2016, o 11:43 --

OK, może ktoś mi tutaj pomoże, bo nie mogę przestać o tym myśleć. Ile mogę stracić punktów za następujące błędy:

1. W zadaniu 12. (za 6 pkt.) przekształciłem nierówność w następujący sposób:
\(\displaystyle{ |x_1 + x_2| < 3 \Rightarrow x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 < 3}\)

(druga strona nierówności niepodniesiona do kwadratu, dalej rozumowanie jest jak najbardziej prawidłowe, a zadanie doprowadzone do końca)

W tym zadaniu, właściwie to zbędne jest rozpisanie tej nierówności, ponieważ jak wyprowadzi się wzór na pierwiastki zależne od parametru m i potem podstawi do \(\displaystyle{ |x_1-x_2|}\), to wyjdzie \(\displaystyle{ 2\sqrt{m(m-4)}<3}\) i dopiero tutaj trzeba podnieść do kwadratu. Znak modułu usunie się, ponieważ \(\displaystyle{ 2\sqrt{m(m-4)}}\) to jest \(\displaystyle{ \Delta}\), które ma być dodatnie, aby istniały dwa pierwiastki dla tej funkcji kwadratowej.

Nie wiem jak dalej robiłeś to zadanie. Jak wyszło Ci \(\displaystyle{ m\in (-\frac{1}{6},0)\cup (4,\frac{9}{2})}\), to masz OK wszystko i just don't bother anymore

-- 12 cze 2016, o 12:06 --

Wiecie może (pewnie Pan Jan Kraszewski wie) ile zabiorą punktów za złe rozwiązanie warunku: \(\displaystyle{ |x_1-x_2|<3}\) w dwunastym?
Dobrze przekształciłem, podstawiłem ze wzorów Viete'a i wyszła mi nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{4m^2-16m}<3}\), a później obustronnie podniosłem do drugiej potęgi i zamiast \(\displaystyle{ 4m^2-16m<9}\) (przy czym lewa strona musi być nieujemna) napisałem \(\displaystyle{ |4m^2-16m|<9}\) i to rozwiązałem? Doprowadziłem zadanie do końca z tym błędem.

Ok, i jest poprawnie. Tak naprawdę \(\displaystyle{ |x_1-x_2|=|2\sqrt{m(m-4)}|=2\sqrt{m(m-4)}}\), bo to jest przecież wzór na \(\displaystyle{ \Delta}\),która jest dodatnia z założenia, aby ta funkcja kwadratowa miała dwa pierwiastki.

Ostatecznie były trzy warunki dla parametru m:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
m\in (-\frac{1}{6},\infty), \\m\in (-\infty,0)\cup (4,\infty), \\ m\in (-\frac{1}{2},\frac{9}{2})
\end{cases}}\)
a stąd \(\displaystyle{ m\in (-\frac{1}{6},0)\cup (4,\frac{9}{2})}\)

[Jan Kraszewski]

Domyślam się,że w zadaniu 8 ta interpretacja geometryczna będzie mniej punktowana jako,że nie trzeba się przy tym narobić

No i co z tego?

JK

[Greens]

"Matematycy są z natury leniwi - zawsze szukają najkrótszej drogi"

[lucanetti]

Heh,jasne... zeby tylko CKE podzielala ten poglad i odzwierciedlila to w postaci odpowiednio wysokiej punktacji za ten sposob rozwiazania

[Jan Kraszewski]

zeby tylko CKE podzielala ten poglad i odzwierciedlila to w postaci odpowiednio wysokiej punktacji za ten sposob rozwiazania

To stwierdzenie nie ma sensu - co to znaczy "odpowiednio wysoka punktacja"? Kazde poprawne rozwiązanie daje maksimum punktów. Więc problem nie leży w tym, czy metoda jest geometryczna, tylko czy rozwiązanie jest pełne.

JK