LXVII (67) OM - I etap

[Wiesiek7]

Czy na olimpiadzie stwierdzenie, że jeśli \(\displaystyle{ a^{2} \equiv 0 \pmod{3}}\) to \(\displaystyle{ a \equiv 0 \pmod{3}}\) wymaga dowodu czy jakiegoś komentarza? Bo mi się wydaje, że to jest oczywiste i nie potrzeba dowodu, ale czy ktoś moze to potwierdzić?

[Pinionrzek]

Nie wymaga.

[m4444]

Myślicie, że jaki w tym roku będzie próg? Ile zadań zrobiliście?

[AndrzejK]

Nie można dyskutować o progu do piątku.

[Filipos38]

Jakieś przemyślenia dotyczące zadań z trzeciej serii? Ktoś coś? Ja rozwaliłem tylko jedno niestety, rozwiązanie innego zawiera poważną lukę. Z drugiej i pierwszej serii mam po dwa zadania zrobione. Czy to oznacza, że mogę się pożegnać z drugim etapem czy jednak są jakieś szanse? Mam nadzieję, że jakiś doświadczony olimpijczyk mi odpowie.

[Premislav]

Na szybko wymyśliłem takie 9.

9.:    

Tę liczbę możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\). Załóżmy nie wprost, że jest ona wymierna. Wówczas również jej odwrotność, czyli \(\displaystyle{ \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}}\) jest wymierna. Iloczyn liczb wymiernych jest liczbą wymierną, zatem liczba \(\displaystyle{ (\sqrt{2}+1)(\sqrt{5}+\sqrt{3})}\) też jest wymierna. Ponieważ także suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną, to otrzymujemy wniosek, że \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{2}+1)(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2(\sqrt{10}+\sqrt{3})}\) jest wymierna, a stąd również \(\displaystyle{ \sqrt{10}+\sqrt{3}}\) jest wymierna. Jednak łatwo się przekonać, że jest ona pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-26x^{2}+49}\), który na mocy twierdzenia o pierwiastkach wymiernych nie ma pierwiastków wymiernych. Otrzymaliśmy sprzeczność.

Ma ktoś może rozwiązanie tego zadania z wykorzystaniem algebry abstrakcyjnej? Bo pozapominałem materiału z tej dziedziny, a chciałbym zobaczyć takie rozwiązanie (właściwie po to piszę, żeby zadać takie pytanie).

[Pinionrzek]

9.

Ukryta treść:    

Załóżmy nie wprost, że teza nie zachodzi. Przez \(\displaystyle{ I}\) oznaczmy zbiór liczb algebraicznych całkowitych. \(\displaystyle{ a=\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{3}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{2}-1)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ I}\) jest pierścieniem, a te dwa czynniki są kolejno pierwiastkami wielomianów \(\displaystyle{ x^4-16x^2+4, x^4-6x^2+1}\), zatem \(\displaystyle{ a \in I}\). Z drugiej strony wiadomo, że przecięcie liczb wymiernych i algebraicznych całkowitych, to liczby całkowite. To implikuje, że \(\displaystyle{ a}\) jest całkowite, a to jest oczywiście bzdurą, gdyż \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\).

[Premislav]

Fajne, dzięki.

[gomoku123]

Ja mam takie 3 pytania. W 10 wyszło że albo wszystkie rozwiązania są równe -1 albo wszystkie są równe 2? Jak zrobiliście to zadanie z tabelką? Jak myślicie czy 7 zadań dobrze zrobionych wystarczy na drugi etap w dolnośląskim? Z góry dzięki za odpowiedzi.

[vvz]

gomoku123, Tak w 10 -1 lub 2. Zadanie z tabelką można zrobić z pomocą

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Sprague%E2%80%99a-Grundy%E2%80%99ego

7 zadań powinno wystarczyć

[wielkireturner]

gomoku123, Tak w 10 -1 lub 2. Zadanie z tabelką można zrobić z pomocą

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Sprague%E2%80%99a-Grundy%E2%80%99ego

7 zadań powinno wystarczyć

Nie widzę zastosowania tego twierdzenia w tym zadaniu. Mógłbyś się rozpisać?

[enedil]

Ma ktoś 12?
Trochę na nim myślałem, ale wolałem się skupić na pozostałych.

11 - chyba najładniejsze z serii, po zauważeniu, że w każdym polu tabeli jest liczba będąca xorem bitowym numeru wiersza i kolumny.

[Michalinho]

Ja mam 12. Rozwiązania zamieszcze później ale skrótowo to sfery Dandelina

[wielkireturner]

Ma ktoś 12?
Trochę na nim myślałem, ale wolałem się skupić na pozostałych.

11 - chyba najładniejsze z serii, po zauważeniu, że w każdym polu tabeli jest liczba będąca xorem bitowym numeru wiersza i kolumny.

Tak, zauważyłem to również, aczkolwiek nie wiedziałem i nadal nie wiem, co to xor, dlatego opisałem jedynie jak dana liczba zależy od jej wskaźników w systemie binarnym i jak wynika z tego teza, to chyba nie wystarczy na 5 pkt?
edit: Już wiem. xor = alternatywa wykluczająca...

[enedil]

to chyba nie wystarczy na 5 pkt?

Potrzeba dowieść, iż definicja z xorem jest jednakowa z definicją z zadania. Jeśli jest to tylko obserwacja, moim zdaniem 2 punkty to dużo.