LXIV (64) OM - I etap

[Ponewor]

wyluzujcie, w komisji pracują ludzie, nie kosmici.

[porfirion]

Co nie zmienia faktu, że jak się startuje w OM-ie, to nauka czytania ze zrozumieniem nie jest jakimś hiperwymaganiem.

[stanley12]

Mam pytanie odnośnie czwartego. Co byłoby gdyby Michał nie zaczął od przedzielenia na pół, tylko narysował by jedną z np. najkrótszych przekątnych?

Ponewer: do której klasy chodzisz ?

[Decadence]

1 zrobiłem podobnie jak ponewor, tylko, że krócej. Niestety mam wrażenie, że machnąłem się z minusem przy przenoszeniu stronami i wyszło coś innego niż powinno być, w zasadzie nie zmieniło to mocno rozwiązania, sens pozostał ten sam, bo po lewej stronie równania otrzymałem pierwiastek z y a po prawej pewną kombinację sum, iloczynów, różnic liczb wymiernych tylko, że innych niż powinny być. Zaliczą takie rozwiązanie?

[HuBson]

porfirion, może zamiast się wymądrzać to pochwaliłbyś się swoimi rozwiązaniami ?

[Merenik]

Zadanie 4 mam tak samo jak Ponewor i okazało się, że 6 osóbz mojej klasy też je tak zrobiło

[Ponewor]

stanley W II LO jestem, rok wcześniej do szkoły się wybrałem.

Decadence te dwa punkty za dobrą ideę może dostaniesz. ale w sumie to strasznie głupio stracić punkty za błędne przekształcenia robione w domu.

Merenik to chyba jedyne sensowne rozwiązanie, ale poczekajmy na innych, oraz wzorcówki.

[Panda]

Można próbować ... undy%27ego , tylko po co

[stanley12]

Ponewor: Masz dostosowany poziom w tej II liceum do siebie, czy raczej się nudzisz? Masz jakiegoś matematyka w rodzinie, że w tak młodym wieku tak zasuwasz?

[marker1995]

To może ja się podzielę

Zadanie 2 :

Ukryta treść:    

Wykażemy najpierw, że trójkąt \(\displaystyle{ BCL}\) jest równoramienny. Figura \(\displaystyle{ ABCD}\) jest równoległobokiem, więc \(\displaystyle{ \sphericalangle BCD = \sphericalangle BAD}\). Ponadto, ponieważ punkty \(\displaystyle{ A, B, L, D}\) leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AN}\), \(\displaystyle{ \sphericalangle BLD = 180^{\circ} - \sphericalangle BAD}\). \(\displaystyle{ \sphericalangle BLC = 180^{\circ} - \sphericalangle BLD = \sphericalangle BAD}\), co oznacza, że trójkąt \(\displaystyle{ BCL}\) jest równoramienny. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ CD}\). \(\displaystyle{ \sphericalangle ABN = 90^{\circ} = \sphericalangle BMD}\), bo \(\displaystyle{ AN}\) jest średnicą. Stąd, ponieważ proste \(\displaystyle{ AB, MD}\) są równoległe (\(\displaystyle{ ABCD}\) to równoległobok), również proste \(\displaystyle{ NB, NM}\) są równoległe. Zatem \(\displaystyle{ N}\) leży na \(\displaystyle{ BM}\), więc \(\displaystyle{ NL = NC}\), bo \(\displaystyle{ BM}\) jest wysokością trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ BCL}\). Analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ NK = NC}\) (\(\displaystyle{ A, B, K, D}\) leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AN}\), dalej - \(\displaystyle{ CKD}\) jest równoramienny i \(\displaystyle{ N}\) leży na jego wysokości \(\displaystyle{ DO}\)). Zatem \(\displaystyle{ NK = NC = NL}\) , więc punkt N jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ CKL}\), co kończy dowód.

Zadanie 1 : (swoją drogą nieźle kombinowałem i pewnie podkreślony tekst uznają za blef)

Ukryta treść:    

Zauważmy na początek, że \(\displaystyle{ w > 0}\), bo \(\displaystyle{ x,y > 0}\). Ponadto \(\displaystyle{ y - \sqrt{x} \neq 0}\), ponieważ w przeciwnym razie \(\displaystyle{ w = \frac{x + \sqrt[4]{x} }{2\sqrt{x}} \in NW}\), wbrew założeniu. Mamy \(\displaystyle{ w= \frac{x + \sqrt{y} }{y + \sqrt{x} } = \frac{(x + \sqrt{y})(y - \sqrt{x}) }{(y + \sqrt{x})(y - \sqrt{x}) } = \frac{xy - x \sqrt{x} + y\sqrt{y} - \sqrt{xy} }{y ^{2} - x } \in W}\). Zaprzeczmy tezie i rozpatrzmy 2 przypadki:

• 1. \(\displaystyle{ \sqrt{x},\sqrt{y} \in NW}\). Wtedy \(\displaystyle{ xy, y^{2} - x \in W; - x \sqrt{x}, y\sqrt{y} \in NW}\). Jeżeli liczba \(\displaystyle{ \sqrt{xy} \in W}\), (np. dla \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\)), to suma liczb niewymiernych \(\displaystyle{ - x \sqrt{x} + y\sqrt{y}}\) musi być wymierna, bo \(\displaystyle{ w \in W}\). Jest to możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ - x \sqrt{x} + y\sqrt{y} = 0}\) Wtedy jednak \(\displaystyle{ x ^{3} = y^{3}}\), skąd \(\displaystyle{ x = y}\), wbrew założeniu. Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{xy} \in NW}\), to suma liczb niewymiernych \(\displaystyle{ (-x \sqrt{x} - \sqrt{xy}) + y\sqrt{y}}\) musi być wymierna i \(\displaystyle{ (-x \sqrt{x} - \sqrt{xy}) + y\sqrt{y} = 0}\). Stąd \(\displaystyle{ y\sqrt{y} = x \sqrt{x} + \sqrt{xy}}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ y^{3} = x ^{3} + 2x^{2}\sqrt{y} + xy \in NW}\), skąd sprzeczność.

• 2. \(\displaystyle{ \sqrt{x} = n \in NW, \sqrt{y} = u \in W}\) (przypadek odwrotny traktujemy analogicznie wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{w}}\) jest wymierna, bo \(\displaystyle{ w \neq 0}\)). Wtedy \(\displaystyle{ w = \frac{xy - x \sqrt{x} + y\sqrt{y} - \sqrt{xy} }{y ^{2} - x } = \frac{xy - xn + yu - nu }{y ^{2} - x } \in W}\). Na podstawie założeń mamy \(\displaystyle{ xy, yu \in W; -xn, -nu \in NW}\). Zatem \(\displaystyle{ -xn - nu \in W}\), bo \(\displaystyle{ w \in W}\), a jest to możliwe wtedy, gdy \(\displaystyle{ -xn - nu = 0}\). Stąd \(\displaystyle{ -n(x + u) = 0}\), ale \(\displaystyle{ n \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ y > 0}\) oraz \(\displaystyle{ x + u > 0}\), bo \(\displaystyle{ x > 0}\).

Uzyskane sprzeczności kończą dowód.

Ciekawy jestem Waszych opinii na temat tych dwóch rozwiązań, pozostałe dwa rozwiązania mam podobnie do przedstawionych na forum.

[HuBson]

marker1995

Zadanie 1:    

Zauważmy na początek, że \(\displaystyle{ w > 0}\), bo \(\displaystyle{ x,y > 0}\). Ponadto \(\displaystyle{ y - \sqrt{x} \neq 0}\), ponieważ w przeciwnym razie \(\displaystyle{ w = \frac{x + \sqrt[4]{x} }{2\sqrt{x}} \in NW}\), wbrew założeniu.

nieprawda kontrprzykład:\(\displaystyle{ x=16}\) \(\displaystyle{ y=4}\)

[Ponewor]

Miałem właśnie napisać identyczny kontrprzykład.

i odnośnie rozwiązania zad. 2. Jest dobre, ale zabawne trochę jest takie pokrętne dowodzenie, że N leży na prostej BM.-- 6 paź 2012, o 22:40 --stanley12 nudzę się potwornie i matematyków w rodzinie nie mam (no chyba, że o czymś nie wiem). Zasuwam? To całkiem zabawne. Ja tam sądzę, że jestem słaby jak barszcz (takie tylko powiedzonko, lubię barszcze różnej maści). Polegnę wraz z wieloma na drugim etapie. W tym temacie wypowiedziało się przynajmniej 20 osób, które zasuwają 10 razy szybciej i wydajniej, i to są naprawdę bardzo ostrożne szacowania. Ale jakoś tak roku temu uznałem, że i nad matematyką trzeba pracować i to przyniosło pewne efekty, dlatego i tobie i wszystkim to polecam. Naprawdę warto.

[HuBson]

Tak się zapytam jeszcze w stosunku do 63 olimpiady zadania z obecnej są łatwiejsze czy trudniejsze?
Szczególnie zależy mi na odpowiedzi osób które brały rok temu udział .

[marker1995]

i odnośnie rozwiązania zad. 2. Jest dobre, ale zabawne trochę jest takie pokrętne dowodzenie, że N leży na prostej BM.

Nie wiem czy takie pokrętne: proste równoległe przecinające się jednym punkcie się pokrywają.

Co do mojego rozw. zad. 1 to tak jak sądziłem - od początku było skazane na porażkę, no cóż

-- 7 paź 2012, o 09:23 --

marker1995

Zadanie 1:    

Zauważmy na początek, że \(\displaystyle{ w > 0}\), bo \(\displaystyle{ x,y > 0}\). Ponadto \(\displaystyle{ y - \sqrt{x} \neq 0}\), ponieważ w przeciwnym razie \(\displaystyle{ w = \frac{x + \sqrt[4]{x} }{2\sqrt{x}} \in NW}\), wbrew założeniu.

nieprawda kontrprzykład:\(\displaystyle{ x=16}\) \(\displaystyle{ y=4}\)

Masz rację, tu jest błąd, tylko że ja wysłałem im pracę, gdzie po zaprzeczeniu tezy (tzn. \(\displaystyle{ \sqrt{x} \in NW}\) dopiero to wpisałem, czy to coś zmieni?

[Merenik]

Właśnie zwróciłem uwagę na to, że mam wszystko tak jak Ponewor, teraz naprawdę ciekawią mnie te wzorcówki(naprawdę ciężko o jakieś inne sensowne rozwiązania, mam nadzieję, że w przypadku drugiej serii będzie większe zróżnicowanie ^^