Zbiorę wszytko, co twierdzę, w tym poście aby nie szukać gdzie co było.
Zasady tworzenia ciągów:
\(\displaystyle{ \begin{equation} c_{n+1}=\frac{c_{n}-1}{3}=m \ n,m\in\NN\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \end{equation}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\c_{n+1}=2c_{n} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{(2)}}\)
Zacznę od przypomnienia węzłów (indeksy będą inne niż w pierwszej części pracy ponieważ liczba
\(\displaystyle{ 4}\) zaliczona zostanie do węzłów) jest więc:
\(\displaystyle{ w_{m}=6m-2}\). Węzeł jest to liczba parzysta spełniająca równanie (1)
1. Z liczb nieparzystych
\(\displaystyle{ N=6n-1}\) pomnożonych przez
\(\displaystyle{ 2}\) otrzymamy węzły
\(\displaystyle{ w_{2m}}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 6n-1\right) =w_{2m}=6 \cdot 2m-2}\) czyli:
\(\displaystyle{ w_{2m}=\left( w_{2},w_{4},w_{6},w_{8},...\right)}\)
2. Z liczb nieparzystych
\(\displaystyle{ N=6n-5}\) pomnożonych przez
\(\displaystyle{ 4}\) otrzymamy węzły
\(\displaystyle{ w_{4m-3}}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot \left( 6n-5\right) =w_{4m-3}=6 \cdot \left( 4m-3\right)-2}\) czyli mamy:
\(\displaystyle{ w_{4m-3}=\left( w_{1},w_{5},w_{9},w_{13},...\right)}\)
3. Każdy węzeł pomnożony przez
\(\displaystyle{ 4}\) daje kolejny węzeł:
\(\displaystyle{ 4w_{1}=16=w_{3}}\)
\(\displaystyle{ 4w_{2}=40=w_{7}}\)
...
\(\displaystyle{ 4w_{n}=w_{4n-1}}\) czyli
\(\displaystyle{ w_{4m-1}=\left( w_{3},w_{7},w_{11},w_{15},...\right)}\)
\(\displaystyle{ 4w_{1}=4 \cdot \left( 4 \cdot 1\right) =16=w_{11}}\)
\(\displaystyle{ 4w_{2}=4 \cdot \left( 2 \cdot 5\right) =40=w_{7}}\)
\(\displaystyle{ 4w_{3}=4 \cdot \left( 4 \cdot \left( 4 \cdot 1\right) \right) =64=w_{11}}\) itd...
Widocznym jest że :
\(\displaystyle{ w_{3}=2^{4} \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ w_{7}=2^{2} \cdot 2 \cdot 5}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=2^{6} \cdot 1}\) itd.
Wiadomo już z jakich konkretnych liczb nieparzystych można otrzymać konkretny węzeł. Rozpisane zostały przecież wszystkie liczby nieparzyste i wszystkie węzły. (wielokrotności liczby
\(\displaystyle{ 3}\) nie rozważa się bo te nie dadzą w wyniku węzła).
3. Wybrać należy dowolną liczbę nieparzystą
\(\displaystyle{ c_{1}=2k-1}\). Wyrazem poprzedzającym jest
\(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) a następnym
\(\displaystyle{ 2c_{1}, \ kolejne \ iteracje}\) gdy
\(\displaystyle{ 2c_{1}=w_{m}}\) bo takie można już w kolejnych krokach dzielić, lub kolejnymi są
\(\displaystyle{ 2c_{1},4c_{1},\ kolejne \ iteracje}\) wtedy gdy
\(\displaystyle{ 4c_{1}=w_{m}}\) bo takie też można w kolejnych krokach dzielić. Co daje w zapisie:
a)
\(\displaystyle{ ,,,3c_{n}+1,c_{1},2c_{1},\ kolejne \ iteracje}\)
b)
\(\displaystyle{ ,,,3c_{n}+1,c_{1},2c_{1},4c_{1}, \ kolejne \ iteracje}\)
4. Jeśli w dowolnych iteracjach otrzymuje się
\(\displaystyle{ c_{n}<c_{1}}\) to taki wyraz należy pomnożyć aby zbliżyć się do
\(\displaystyle{ c_{1}}\) (nie ma znaczenia po ilu i jakich iteracjach otrzymuje się takie
\(\displaystyle{ c_{n}<c_{1}}\), chcąc uzyskać pętlę trzeba w końcu mnożyć). Z mnożenia można otrzymać tylko liczbę parzystą więc nie ma możliwości z takiego
\(\displaystyle{ c_{n}<c_{1}}\), w kolejnym kroku uzyskać
\(\displaystyle{ c_{1}}\) można otrzymać tylko
\(\displaystyle{ c_{n}>c_{1}}\).
5. Jeśli w kolejnych iteracjach otrzymuje się
\(\displaystyle{ c_{n}>4c_{1}}\) (nie ma znaczenia po ilu i jakich iteracjach) to aby zbliżać się do
\(\displaystyle{ c_{1}}\) należy dzielić. Nie można dzielić dwa razy pod rząd. Z dzielenia otrzyma się liczbę nieparzystą. Wiadomo że wyraz
\(\displaystyle{ c_{1}}\) poprzedza węzeł więc liczba parzysta
\(\displaystyle{ w_{m}=3c_{n}+1}\) to dla każdego
\(\displaystyle{ c_{n}>4c_{1}}\) nie otrzyma się w kolejnym kroku
\(\displaystyle{ c_{1}}\).
6. punkty 4 i 5 dają nam zależność:
Jeśli
\(\displaystyle{ c_{n} \not \in\left( c_{1},4c_{n}\right)}\) to z takich wyrazów nie otrzymamy w kolejnym kroku
\(\displaystyle{ c_{1}}\). Przy dowolnych iteracjach aby chcieć otrzymać
\(\displaystyle{ c_{1}}\) krokiem poprzedzającym jest wejście wyrazem
\(\displaystyle{ c_{n}}\) we wskazany przedział.
Jeśli :
\(\displaystyle{ 2c_{n} \neq 3c_{1}+1}\) lub
\(\displaystyle{ 4c_{n} \neq 3c_{1}+1}\) to wykonując kolejne dowolne iteracje opuści się przedział i nie uzyska pętli.-- 10 sty 2017, o 21:03 --I przytoczony przez Ciebie przypadek;
matemix pisze:ale też:
\(\displaystyle{ ...c_{n},2c_{n},4c_{n},8c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ 8c_{n}=3c_{1}+1=w_{m}}\) jest węzłem to i
\(\displaystyle{ 2c_{n}}\) jest węzłem. Wiadomo już że każdy węzeł pomnożony przez
\(\displaystyle{ 4}\) daje kolejny węzeł.
ogólnie można zapisać:
\(\displaystyle{ ...c_{n},2c_{n},4c_{n},...,2^{x}c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)
to wyraz
\(\displaystyle{ c_{n}}\) należy do pętli (bo szukana jest pętla dla
\(\displaystyle{ c_{1}}\) a wyraz
\(\displaystyle{ c_{n}}\) należy do tego ciągu)
Wyraz
\(\displaystyle{ c_{n}}\) jest liczbą nieparzystą więc aby całość się zapętliła to ten wyraz również musi się zapętlić. A wyraz taki podlega przedstawionym dwóm warunkom i nie może się zapętlić.
