(3 zadania) Dowodzenie podzielności - indukcja

[pandaboy]

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba :
a) 2^(6n+1)+3^(2n+2) jest podzielna przez 11
b) 2^(n+2)*3^n+5n-4 jest podzielna przez 25
c) 3^(2^n) - 1 jest podzielna przez 2^(n+2)

Nie wiem jak to rozwiązać. Napiszę sposób jakim to robiliśmy w szkole, jeżeli tak to będzie zrobione to najlepiej to zrozumiem, a o to tu chodzi :

Udowodnij, że dla każdej naturalnej liczby n liczba 2*4^n -2 jest podzielna przez 6.

Dowód :
2*4^(k+1)-2=2*4^k*4-2=4(2*4^k-2)+6

Z góry dzięki za pomoc...

[olazola]

Takie rzeczy rozwiązuje się przez indukcję, a to co mieliście na lekcji to nie wiem czy do tego jest podobne. Napiszę rozwiązanie do zadania pierwszego, reszta analogicznie

1) Sprawdzamy prawdziwość dla n=0
2+3^2=2+9=11
jedenaście jest podzielne przez 11, więc dla n=0 wyrażenie jest podzielne przez 11

2) Zakładamy prawdziwość dla \(\displaystyle{ k\in\NN}\)
\(\displaystyle{ 2^{6k+1}+3^{2k+2}=11a}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in\NN}\)

\(\displaystyle{ 2^{6k+1}=11a-3^{2k+2}}\)

3) Sprawdzamy prawdziwość dla k+1
\(\displaystyle{ 2^{6(k+1)+1}+3^{2(k+1)+2}=2^{6k+1+6}+3^{2k+2+2}=\\=2^62^{6k+1}+3^23^{2k+2}=2^6(11a-3^{2k+2})+9*3^{2k+2}=11a*2^6-64*3^{2k+2}+9*3^{2k+2}=\\=11a*2^6-64*3^{2k+2}+9*3^{2k+2}=11a*2^6-55*3^{2k+2}=11(2^6a-5*3^{2k+2})}\)

Stąd wynika że ta liczba jest podzielna przez 11.

Z powyższych rozważań wynika, że to wyrażenie jest podzielne dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\).

[pandaboy]

Ja wiem, że to jest indukcja. Te zadanko co napisałem rozwiązanie też jest zrobione za pomocą indukcji, tylko, że napisałem sam dowód.

[ Dodano: Czw Gru 16, 2004 6:56 pm ]
Skąd się wzięła ta 11 ?

[olazola]

Jeśli ten dowód napisany przez Ciebie satysfakcjonuje Cię, to ok., ja w nim nic nie widzę, a tym bardziej tego że ta liczba jest podzielna przez 6

[pandaboy]

Dobra, napiszą całą indukcję :
2*4^n-2 jest podzielne przez 6
1. n=1
2*4-2=6 - jest podzielne przez 6
2.
Założenie : n=k
2*4^(k+1)-2
Teza : n=k+1
2*4^(k+1)-2
Dowód :
2*4^(k+1)-2=2*4^k*4-2=4(2*4^k-2)+6

Z założenia 2*4^k-2 jest podzielne przez 6. Liczba podzielna przez 6 pomnożona o liczbę n dalej jest podzielna przez 6.

[olazola]

11 została wyciągnięta przed nawias z wyrażenia \(\displaystyle{ 11a \cdot 2^6+55 3^{2k+2}}\)

I przykro mi bardzo ale dalej mnie ten dowód nie przekonuje a zwłaszcza dwie ostatnie linijki. Wiem jak powinna wyglądać indukcja i wiem jaką mają postać liczby podzielne przez 6. Więc chyba nie ma potrzeby przekonywania mnie że to jest dobrze, jeśli ja mam inne zdanie

[pandaboy]

Jak możesz to zrób jeszcze b) i c)...

[ Dodano: Czw Gru 16, 2004 7:58 pm ]
Upsss.... pomyłka... Polecenie jest takie :
Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n liczba :
a) 2^(6n+1)+3^(2n+2) jest podzielna przez 11
b) 2^(n+2)*3^n+5n-4 jest podzielna przez 25
c) 3^(2^n) - 1 jest podzielna przez 2^(n+2)

P.S.
Sorki za pomyłkę...

[ Dodano: Czw Gru 16, 2004 8:16 pm ]
Ok... pierwszy przykład rozumiem, biorę się za resztę .

[Zlodiej]

b)
Indukcyjnie
Z:\(\displaystyle{ 2^{n+2}3^n+5n-4=25l_1\Longleftrightarrow 2^2 2^n 3^n+5n-4=25l_1 \Longleftrightarrow 4\cdot 6^n +5n-4=25l_1}\)
T:\(\displaystyle{ 4\cdot 6^{n+1} +5(n+1)-4=25l_2}\)
D:\(\displaystyle{ 4\cdot 6^{n+1} +5(n+1)-4= 6\cdot 4\cdot 6^n+30n+6-25n-5=6(4\cdot 6^n+5n-4+5)-25n-5= \\=6\cdot 25l_1-25n+25=25(l_1-n+5)=25l_2}\)

CND :]

[Arek]

Heh.... no już temat się rozwinął... ale PODZIELNOŚĆ to chyba trochę INNY DZIAŁ

[pandaboy]

Tutaj chodzi bardziej o indukcję, a poprzedni mój temat o indukcji został przeniesiony do tego działu, więc tym się zasugerowałem. Arek, przesuń temat gdzie uważasz, tylko powiadom mnie gdzie on się będzie znajdował, albo w tym dziale zostaw linka do niego.

[Zlodiej]

c)
Z:\(\displaystyle{ 3^{2^n}-1=2^{n+2}l_1}\)
T:\(\displaystyle{ 3^{2^{n+1}}-1=2^{n+3}l_2}\)
D:\(\displaystyle{ L=3^{2^{n+1}}-1=3^{2\cdot {2^n}}-1=\left( 3^{2^n}\right) ^2-1=(3^{2^n}-1)(3^{2^n}+1)=2^{n+2}l_1(3^{2^n}+1)=2^{n+3}l_2=P}\)

[pandaboy]

Zlodiej mógłbyś zapisać przykład c) bez pomocy Latexu ?Druga potęga nie jest za bardzo czytelna...

[ Dodano: Sob Gru 18, 2004 6:59 pm ]
Skąd w przykładzie b) w dowodzie wzięło się to ?:
Dowód :

4*6^(n+1)+5(n+1)-4=6*4*6^n+30n+6-25n-5=6(4*6^n+5n-4+5)-25n-5

Mógłbyś to rozpisać ?

[Zlodiej]

Przeciez nawet jak słabo widać można sie domyślić, że to n jest w drugiej potędze ...

Ehh no ja już prościej nie moge .. to jest mój max ... Przecież to widać że wszystko powstało w skutek kombinowania tzn dodania i odejmowania czegoś ...

[Yavien]

mozna dodac operator large lub nawet Large, aby maksymalnie powiekszyc rownanie texa.

[birdy1986]

A moze ktos wytlumaczyc jak krok po kroku robi sie dowod? bo ja mam tez podobne zadanko o tresci "Stosujac zasade indukcji matematycznej, udowodnij, ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n:

1/sqrt(2)*(sqrt(2)+1) + 1/(sqrt(2)+1)*(sqrt(2)+2) + ... + 1/(sqrt(2)+n-1)*(sqrt(2)+n) = n/(sqrt(2)*(sqrt(2)+n)

Udowodnilem ze jest prawdziwe dla n=1, nastepnie zalozylem ze zachodzi dla pewnego k, nastepnie wstawilem n=k+1, i nie wiem... dobrze to zrobilem? Teraz pasowaloby zrobic dowod... tylko wlasnie jak

Dzieki