zbadac zbieznośc szeregów - kryterium d'Alemberta

[Paweł]

Zadanie polega na zbadaniu zbieżnosci szeregow, uzywajac kryterium d'alemberta lub cauchy'ego tam gdzie jest to możliwe.

1) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n \cdot n!}{n^n}}\) i użyłem kryterium d'alemberta i otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{3}{e} > 1}\) czyli szereg rozbieżny.

2) tu już cos powaliłem , więc prosze o rozwi.ązanie krok po kroku, chce zobaczyc jak skracacie te silnie i potegi

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(5n)!}{n^{5n}}}\)

3) tu też tak jak w 2)

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[(n+1)!]^n}{(n!)^n \cdot 10^n}}\)

[ Dodano: 26 Listopad 2006, 20:46 ]
do 3 wymyśliłem cos takiego :

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[(n+1)!]^n}{(n!)^n \cdot 10^n} = \frac{[(n+1)!]^n}{(10 \cdot n!)^n}}\) Teraz stosując kryterium cauchy'ego i redukując otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{n}{10}}\) czyli szereg rozbieżny.

Tak?

[lsobczyk]

zawsze jesli wystepuja silnie to stusuj kryterium d'Alemberta

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(5n+5)!}{(n+1)^{5n+5}}*\frac{n^{5n}}{(5n)!}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(5n)!*(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)*n^{5n}}{(n+1)^{5n}*(n+1)^{5}*(5n)!} =
\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n}{n+1})^{5n}*\frac{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}{(n+1)^5}=
\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{-5n}*\frac{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}{(n+1)^5}=e^{-5}*5^{5}\approx 21,056}\)