Zdarzenia P(A) = 3P(B) = 4P(C) = 5P(D)

[tose]

Zdarzenia
\(\displaystyle{ A, B, C, D \Omega}\)
parami wyłączają się oraz wiemy, że:
\(\displaystyle{ 1. A \cup B \cup C \cup D = \Omega}\)
\(\displaystyle{ 2. P(A) = 3P(B) = 4P(C) = 5P(D)}\)
Wyznacz:
P(A) P(B) P(C) P(D).

Proszę o pomoc, bo muszę to mieć na jutro, a korki z matmy mam dopiero jutro po fakcie

[jacekgo]

\(\displaystyle{ P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1}\)
Później podstawiamy z równania nr 2 tak, żeby zredukować do 1 zmiennej.

[tose]

No, ale ja mam wyznaczyć (o ile dobrze rozumiem treść zadania) każdy P(x) osobno. Z tego co Ty napisałeś, wynika, że wystarczy podzielić obustronnie przez 4 i każde P(x) będzie równe 0.25, ale to nie spełnia drugiego warunku zadania (tego określonego w temacie).
Ale dziękuję za chęć pomocy.

[jacekgo]

No raczej nie bo z tego co napisałem wynika, że \(\displaystyle{ P(A)=\frac{60}{107}}\)
Bo:
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{P(A)}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{P(A)}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(D)=\frac{P(A)}{5}}\)

Później to podstawiasz do równania które napisałem wcześniej i ci wychodzi że \(\displaystyle{ P(A)=\frac{60}{107}}\) Tak samo robisz z \(\displaystyle{ P(B)\: P(C)\: P(D)}\)

[tose]

A no tak, chyba odpisałem zanim Ty zedytowałeś posta. W każdym razie Wielkie Dzięki. Tyle, że dalej nie wiem, skąd się to wzięło. No bo rozumiem, że teraz równanie wygląda tak:

\(\displaystyle{ \frac{P(A)}{1} + \frac{P(A)}{3} + \frac{P(A)}{4} + \frac{P(A)}{5} = 1}\)

[d(-_-)b]

Po pierwsze zadarzenia A, B, C, D się wyłączają, czyli nie mają części wspólnej;

Zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo sumy, czyli

\(\displaystyle{ P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)}\)

gdzie X, Y są to zdarzenia elementarne takie, że

,np. Niech

\(\displaystyle{ X=A\cup B}\)
\(\displaystyle{ Y=C\cup D}\)

\(\displaystyle{ P(\left(A\cup B\right)\cup\left(C\cup D\right))=P(A\cup B) + P(C\cup D) - P(\left(A\cup B\right)\cap\left(C\cup D\right))}\)

\(\displaystyle{ P(\left(A\cup B\right)\cap\left(C\cup D\right))=0}\) , bo zdarzenia się wyłączają
Zatem

\(\displaystyle{ P(\left(A\cup B\right)\cup\left(C\cup D\right))=P(A\cup B) + P(C\cup D)}\)

\(\displaystyle{ P(\left(A\cup B\right)\cup\left(C\cup D\right))=P(A)+P(B)-P(A\cap B)+P(C)+P(D)-P(C\cap D)}\)

\(\displaystyle{ P(A\cap B)=0}\)
\(\displaystyle{ P(C\cap D)=0}\)

\(\displaystyle{ P(\left(A\cup B\right)\cup\left(C\cup D\right))=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=P(\Omega)}\)

\(\displaystyle{ P(\Omega)=1}\) - zdarzenie pewne

\(\displaystyle{ P(A)+\frac{1}{3}P(A)+\frac{1}{4}P(A)+\frac{1}{5}P(A)=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{107}{60}P(A)=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{60}{107}}\)

korzystamy teraz z zależności między poszczególnymi prawdopodobieńswami

\(\displaystyle{ P(B)=\frac{1}{3}P(A)=\frac{1}{3}*\frac{60}{107}=\frac{20}{107}}\)


\(\displaystyle{ P(C)=\frac{1}{4}P(A)=\frac{1}{4}*\frac{60}{107}=\frac{15}{107}}\)


\(\displaystyle{ P(D)=\frac{1}{5}P(A)=\frac{1}{5}*\frac{60}{107}=\frac{12}{107}}\)

[tose]

O właśnie o to mi chodziło. Nawet nie liczyłem na to, że dostanę tak szybko odpowiedź. Dzięki d(-_-)b i jacekgo.

[d(-_-)b]

Cieszę się że mogłem pomóc