Problem z liczbą 0,(9)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \large \frac{a}{0}=\infty}\)
za tym przemawia jeszcze jeden fakt, przeksztalcajac to rownanie mamy:
\(\displaystyle{ \large a=0 }\)
co sie w sumie zgadza bo symbol nieoznaczony moze przyjac kazda wartosc....

Carl0s dzięki ci za to, że znalazłeś ten przykład. Bo podobnie jak dowody na to, iż 0,(9)=1 wygląda on bardzo prawdziwie, a chyba nikt tu nie powie, że można dzielić przez zero.
Wydaje mi się tylko, że nie mozna powiedzieć, iż \(\displaystyle{ \infty}\), bo to nie jest zmienna.

Oj, młodzi matematycy... Używacie znaczków nie wiedząc, co one znaczą...
A kto wam powiedział, że \(\displaystyle{ \large \frac{a}{0}=\infty}\) to równanie...? To tylko kolejny skrót myślowy...

Jak miałbym do czegoś porównać Wasze argumenty, to chyba do szacowania wieku Ziemi na ok. 6 tys. lat na podstawie Księgi Rodzaju. Ale i tak uważam, że lepiej robić coś takiego niż mieć matematykę w głebokim poważaniu.
JK

[Calasilyar]

Carl0s, Bierut, nie można pisac czegoś takiego jak \(\displaystyle{ \frac{a}{0}=\infty}\)
jest tylko coś takiego, jak:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{a}{x}=\infty}\)
a to jest już zupełnie cos innego. Zapis \(\displaystyle{ \frac{a}{0}=\infty}\) to zapis pomocniczy i możesz go robic co najwyżej na marginesie i to wyłącznie dla siebie, bo nikt ci go nie uzna... Poza tym zapominacie chyba, że \(\displaystyle{ \infty}\) to nie liczba, tylko pojęcie i nie można sobie nim szafowac jak się chce.

caly rachunek rozniczowy jest oparty na dzieleniu przez zero...

że co? rachunek różniczkowy opiera się na pojęciu granicy, w której nie dzieli się przez 0, ewentualnie przez liczbę dążącą do 0, a to jest dużo różnica...

Ale i tak uważam, że lepiej robić coś takiego niż mieć matematykę w głebokim poważaniu.

Zgadzam się, ale trzeba też miec trochę pokory (i tego uczy matematyka), bo bez tego daleko się nie ujedzie.

[yorgin]

Bierut - czy próbujesz nam (pośrednio) powiedzieć, że 0,(9) i 1 to dwie kolejne liczby rzeczywiste? Według mojej wiedzy takie pojęcie jednak nie istnieje.

Po zastanowieniu uważam, że \(\displaystyle{ \frac{q+1}{2}}\)nie jest liczbą wymierną, bo skoro \(\displaystyle{ q}\)jest następną liczbą zaraz po 1, to w zbiorze liczb wymiernych nie ma między nimi już innej liczby.

Nikt się jeszcze (przynajmniej tak mi sie wydaje) nie odwoływał do gęstości zbioru liczb Q w Q i Q w R. Z tego jednoznacznie wynika, że nieprwadwą jest że nawet jeśli 0,(9) i 1 są dwiema kolejnymi liczbami rzeczywistymi, to istnieje liczba wymierna leżąca między numi na osi liczbowej co prowadzi do sprzecznosci ze obie liczby są "kolejnymi"

To samo odnosi się do drugego cytatu. Skoro zbiór Q jest gęsty sam w sobie, to zawsze istnieje (dodam że nieskończenie wiele) liczba wymierna \(\displaystyle{ a=\frac{q+1}{2}}\), taka że :
\(\displaystyle{ 1}\)

[Calasilyar]

równość zachodzi i nie wiem jaki jest sens wałkowania tego samego

zgadzam się i uważam, że dalsza dyskusja nie ma najmniejszego sensu...

[Carl0s]

Carl0s, Bierut, nie można pisac czegoś takiego jak \(\displaystyle{ \frac{a}{0}=\infty}\)
jest tylko coś takiego, jak:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{a}{x}=\infty}\)
a to jest już zupełnie cos innego. Zapis \(\displaystyle{ \frac{a}{0}=\infty}\) to zapis pomocniczy i możesz go robic co najwyżej na marginesie i to wyłącznie dla siebie, bo nikt ci go nie uzna... Poza tym zapominacie chyba, że \(\displaystyle{ \infty}\) to nie liczba, tylko pojęcie i nie można sobie nim szafowac jak się chce.

ja wiem ze to trzeba zapisywac jako granice bo to niby rownanie jest niepoprawne i nie uzylem tego jako argumentu na ktorakolwiek strone w tej dyskusji, to byla luzna dygresja tylko:)...poprostu czytajac ten topic pomyslalem sobie takie cos...mamy funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x-1}}\)
oczywiscie wiem, ze \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 1}\frac{1}{x-1}=\infty}\)
czyli, ze \(\displaystyle{ x\neq1}\) i \(\displaystyle{ f(0,(9))=\infty}\)
ale ze \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\) to \(\displaystyle{ f(1)=f(0,(9))=\infty}\)
to tez luzna dygresja..nie traktujcie mnie jako obronce 0,(9)≠1 bo nim wcale nie jestem...

[Bierut]

Calasilyar ja nie uważałem, że \(\displaystyle{ \frac{a}{0}=\infty}\). Nawet to napisałem, tylko troche popełniłem błąd w pisaniu i mogliście mnie źle zrozumieć.

Wydaje mi się tylko, że nie mozna powiedzieć, iż \(\displaystyle{ \infty}\), bo to nie jest zmienna.
Apowinno być:
Wydaje mi się tylko, że nie mozna powiedzieć, iż zamiast \(\displaystyle{ \infty}\) można podstawiać jakąkolwiek liczbę, bo to nie jest zmienna.

Zanim jeszcze powiem co wywnioskowałem z przeczytanej książki (a przynajmniej jej fragmentu na odpowiedni temat), chciałbym wrucić do jednej rzeczy. Wiem, że jest to banalne i tak naprawdę nie jest mi to potrzebne, ale gdy to zobaczę może uświadomię sobie coś nowego.

przykro mi, ale srednia arytmetyczna dowolnych dwoch liczb wymiernych pozostaje wymierna (naprawde mam podac dowod)?

Chciałbym zobaczyć jak wygląda ten dowód.

[g]

alez prosze.
niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) beda tymi danymi liczbami wymiernymi. skoro sa one wymierne, to zgodnie z ich definicja istnieja takie liczby \(\displaystyle{ p_1,q_1,p_2,q_2}\), gdzie \(\displaystyle{ p_1,p_2 \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ q_1,q_2 \mathbb{N} \setminus \{ 0 \}}\) oraz liczby o tych samych indeksach sa wzglednie pierwsze, takie, ze \(\displaystyle{ a = {p_1 \over q_1}}\) i \(\displaystyle{ b = {p_2 \over q_2}}\). no i my sie zastanawiamy, jak bedzie wygladac \(\displaystyle{ {a+b \over 2}}\). na podstawie powyzszego wiemy, ze zachodza rownosci \(\displaystyle{ {a+b \over 2} = {\frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} \over 2} = {p_1 q_2 + p_2 q_1 \over 2 q_1 q_2} = {\frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{\mathrm{NWD }(p_1 q_2 + p_2 q_1, 2 q_1 q_2)} \over \frac{2 q_1 q_2}{{\mathrm{NWD }(p_1 q_2 + p_2 q_1, 2 q_1 q_2)}}}\). wiemy, ze licznik powyzszego ulamka jest calkowity, a mianownik naturalny dodatni oraz, ze sa one wzglednie pierwsze, zatem sa dobrymi kandydatami na licznik i mianownik w definicji liczby wymiernej.

[yorgin]

Podobny dowód wynikający z faktu że wykonywanie każdego z podstawowych działań nie zmienia przynależności do zbioru, tzn suma dwóch liczb Q jest liczbą wymierną oraz liczba Q podzielona przez 2 tez jest wymierna:
\(\displaystyle{ Z i T:\forall_{a,b \mathbb{Q}}:a \mathbb{Q}}:a}\)

[Bierut]

g, yorgin, ale wasze dowody świetnie pasują do zwykłych liczb wymiernych. A 0,(9), jak to ktoś już tu wspomniał, nie jest zwykłą liczbą (mam nadzieję że wiecie o co mi chodzi).

P.S. Dajcie mi czas do jutra, a przeczytam do końca tą książkę co miałem przeczytać na ten temat, to wtedy może zobaczycie mnie odmienionego.

[g]

ja sie chetnie dowiem co to jest niezwykla liczba wymierna.

[bolo]

Tak myslałem, że takie pytanie postawisz, mogłem się założyć Zapewne jakaś nowa nomenklatura, o której nie wiemy

Bierut - używając Twojego nazewnictwa, "niezwykła liczba" \(\displaystyle{ 0,(9)}\) w postaci "zwykłej liczby" to \(\displaystyle{ 1}\)

[yorgin]

Ok wymyśliłem dowód na to że \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\)

Załóżmy że mamy zegar na którym jest 10 liczb, od 1 do 10. Na zegarzy tym są dwie wskazówki minutowa i godzinna. Zegra działa na takiej samej zasadzie jak zwykly zegar, z tą różnicą że godzina trwa 50 min, a obrót wskazówki godzinnej wokół tarczy zajmuje jej 10h.
Załóżmy dalej że nasz hipotetyczny zegar wskazuje godzinę 9 (mała wskazówka jest na 9, duża na 10). Postawmy sobie pytanie: ile czasu potrzeba by wskazówka minutowa pokryła się z godzinną??

I. Wariant.
Odpowiedź jest oczywista, wskazówki pokryją się o godzinie 10, czyli po upływie dokładnie 1h.

II. Wariant.
Wskazówka minutowa by znależć się na miesjcu zajmowanym przez godzinną w momencie gdy jest godzina 9, musi przebyć \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\) tarczy zegara. Ale gdy już dojdzie tam, wskazówka godzinna przesunie się o \(\displaystyle{ \frac{9}{10}*\frac{1}{10}}\) tarczy zegara, czyli wskazówka minutowa musi pokonać jeszcze \(\displaystyle{ \frac{9}{10}*\frac{1}{10}}\) tarczy zegara. Ale znów: wskazówka godzinna ucieknie w tym czasie o \(\displaystyle{ \frac{9}{10}*\frac{1}{10}*\frac{1}{10}}\) tarczy i znów wskaówka minutowa musi gonić godzinną. Postępując tak dalej wydaje się że wskazówki godzinna i minutowa nigdy się nie pokryją, (ale wiemy że tak nie jest) gdyż róznica w odległości między nimi wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{9}{10}*(\frac{1}{10})^n}\) gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.
Ale wskazówka minutowa pokona przez cały czas "doganiania" godzinnej dystans \(\displaystyle{ \frac{9}{10}+\frac{9}{10}*(\frac{1}{10})^1+\frac{9}{10}*(\frac{1}{10})^2+\frac{9}{10}*(\frac{1}{10}^3)+... itd.}\)
To ostanie wyrażenie jest równe:
\(\displaystyle{ 0,9+0,09+0,009+0,0009+...=0,9999...=0,(9)}\)
Czyli wskazówka minutowa pokona dystans \(\displaystyle{ 0,(9)}\) tarczy zegara nim pokryje się z godzinną.
Porównajmy teraz oba wyniki z obu wariantów. Jest pewne, że wskazówki się pokryją o 10, więc musi zachodzić równość: \(\displaystyle{ 1=0,(9)}\)

Taki nietypowy dowodzik

Tez jestem ciekaw co to są "niezwykłe liczby niewymierne"

[Carl0s]

a moze sie ktos odniesc do tego co ja napisalem?

[Bierut]

ja sie chetnie dowiem co to jest niezwykla liczba wymierna.

Tez jestem ciekaw co to są "niezwykłe liczby niewymierne"

Dlaczego wy nie dokładnie czytacie posty (może specjalnie omijacie niektóre szczegóły, aby pokazać, że ja mówie brednie). Przecież mówiłem, że takiego sformułowania użył tu ktoś inny niż ja. Mi się wydawało to troche dziwne, ale ten ktoś może miał coś konkretnego na myśli.

yorgin popatrz sobie na paradoks Zenona z Elei (chodzi mi o ten z Achillesem), bo chyba o nim nie słyszałeś.

Ten twój dowód wydaje mi się naj mniej prawdziwy ze wszystkich.

[yorgin]

Ten dowód jest dobry, a mnie się wydaje że nie rozumiesz, że paradoks wyścigu Achillesa i Żółwia jest tylko pozorny. Pozorny to znaczy że tak naprawdę wyścig zakończy się remisem. Można tego dowieść (wracamy do punktu wyjścia) korzystajac z sume nieskonczonego szereegu geometrycznego bądź stosując wzory fizyczne w ruchu jednostajnym w układzie odniesienia.

A co do "niezwykłych" liczb wymiernych, czytałem cały temat i nie znalazłem tego określenia. Zresztą to nie jest aż tak istotne, ja tam nie dokonuje podziału liczb wymiernych na zwykłe i niezwykłe, bo nie widzę podstaw, by twierdzić że liczby wymierne czymś się różnią między sobą poza wartością. Każda liczba wymierna może być zapisana w postaci ułamka, to jest oczywiste, więc jesli liczbę 1 i 0,(9) można zapisać w postaci ułamka, to ja nie widzę żadnej niezwykłości w zapisie \(\displaystyle{ 1=\frac{9}{9}=9*\frac{1}{9}=9*0,1111....=0,9999.....=0.(9)}\)Jest to po prostu poprawne przekształcenie.

W tej chwili dochodzę do wniosku (może błędnego), że dla Ciebie każda liczba, w której mantysa jest jakimś ułamkiem okresowym, jest "niezwykła". Równie dobrze możemy się bawić liczbą \(\displaystyle{ \frac{1}{7},\frac{1}{13},\frac{1}{1913}}\) Każda z nich ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i okresowe, każda po wyliczeniu wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{n},n=7,13,1913}\) i po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ n}\) daje ten sam wynik \(\displaystyle{ 0,(9)}\).