[Nierówności] Dość trudna nierówność

[mol_ksiazkowy]

Dany jest ciąg liczb dotatnich \(\displaystyle{ a_n}\). Niech teraz, \(\displaystyle{ x_n}\) bedzie średnią geometryczną liczb \(\displaystyle{ a_1, ......., a_n}\). Wykaż, ze gdy m,n są to liczby naturalne, to wtedy \(\displaystyle{ a_{n+1}+.....+a_{n+m} q (m+n)x_{m+n}-nx_n}\)

[Zlodiej]

Dodaj stronami sume n pierwszych wyrazów ciągu i podziel przez n+m.

Zostanie do udowodnienia nierówność: \(\displaystyle{ nG_n\geq A_n}\)

Gdzie srednia G jest geometryczna, a A arytmetyczna ?

[mol_ksiazkowy]

Mozesz to ciut dokładniej rozpisac....?!

[Ambi]

\(\displaystyle{ a_{1}+...+a_{n+m}\geq (n+m)x_{n+m} \\
a_{n+1}+...+a_{n+m}\geq (n+m)x_{n+m}-(a_{1}+...+a_{n})}\)
ale przecież
\(\displaystyle{ -nx_{n}\geq-(a_{1}+...+a_{n})}\)

[palazi]

Hmm mocna nierówność... A poprzednicy oczywiście zle kombinują, bo trzeba znalezć mocniejsze oszacowanie.
P.S. Ambi przyjżyj sie jeszcze raz temu co napisałeś...

[Marcin88]

Na mocy nierówności Cauchy'ego między średnimi:
\(\displaystyle{ a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+m}+nx_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+m}+n\sqrt[n]{a_1 a_2... a_n}\geq \\
\geq m\sqrt[m]{a_{n+1} a_{n+2}... a_{n+m}}+n\sqrt[n]{a_1 a_2... a_n}=(n+m)\cdot \frac{m\sqrt[m]{a_{n+1} a_{n+2}... a_{n+m}}+n\sqrt[n]{a_1 a_2... a_n}}{n+m}\geq \\
\geq (n+m)\sqrt[n+m]{(\sqrt[m]{a_{n+1} a_{n+2}... a_{n+m}})^m\cdot(\sqrt[n]{a_1 a_2... a_n})^n}=(n+m)\sqrt[n+m]{a_1 a_2 ... a_{n+m}}=\\
=(m+n)x_{m+n}}\)
co kończy dowód.