studnia i 2 patyki
studnia i 2 patyki
Witam,
z matematyki zawsze byłem cienki, ale mam nadzieję, że trafiłem w odpowiedzi dział z moim pytaniem...
Ponad 20 lat temu, w pewnej szkole nauczyciel zadał zadanie domowe (nieobowiązkowe), kto rozwiązał dostał 5. Sam nie wiem, dlaczego to zadanie tak mi w głowie utkwiło. Niedawno opowiedziałem o tym zadaniu znajomemu, który uważa się za "bardzo dobrego" z matematyki. Na początku stwierdził: banalne, po godzinie zaczął się denerwować, po kilku dniach powiedział, że za mało danych. Sam nie wiem, może faktycznie o czymś zapomniałem - minęło w końcu ponad 20 lat...
Do studni wrzucono 2 patyki, jeden miał 3 metry, drugi 2 metry. Patyki upadły tak, że końcami dotykały miejsca styku dna i ścianek studni i się skrzyżowały. Od miejsca skrzyżowania patyków do dna studni odległość wynosiła 1 metr. Jaka jest średnica studni ?
Rysunek bardziej byłby tu pomocny, ale mam nadzieję, że w miarę zrozumiale napisałem.
Pozdrawiam Grzesiek
z matematyki zawsze byłem cienki, ale mam nadzieję, że trafiłem w odpowiedzi dział z moim pytaniem...
Ponad 20 lat temu, w pewnej szkole nauczyciel zadał zadanie domowe (nieobowiązkowe), kto rozwiązał dostał 5. Sam nie wiem, dlaczego to zadanie tak mi w głowie utkwiło. Niedawno opowiedziałem o tym zadaniu znajomemu, który uważa się za "bardzo dobrego" z matematyki. Na początku stwierdził: banalne, po godzinie zaczął się denerwować, po kilku dniach powiedział, że za mało danych. Sam nie wiem, może faktycznie o czymś zapomniałem - minęło w końcu ponad 20 lat...
Do studni wrzucono 2 patyki, jeden miał 3 metry, drugi 2 metry. Patyki upadły tak, że końcami dotykały miejsca styku dna i ścianek studni i się skrzyżowały. Od miejsca skrzyżowania patyków do dna studni odległość wynosiła 1 metr. Jaka jest średnica studni ?
Rysunek bardziej byłby tu pomocny, ale mam nadzieję, że w miarę zrozumiale napisałem.
Pozdrawiam Grzesiek
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
studnia i 2 patyki
To się da zrobić...
Niech ABCD będzie czworąkątem, gdzie: AC=3, BD=2, kąty BCD i CDA są proste - bo zakładam, że studnia jest kształty walca. Proszę zauwazyć, że istnieje taka płaszczyzna, że leżą w niej oba patyki. Oczywiście C i D to punkty styku dna ze ścianą, a A i B to dwa pozostałe końce patyków (dobrze, gdyby to narysowac). Niech E będzie punktem przecięcia tych patyków. Niech F będzie prostokątnym rzutem E na odcinek CD, czyli innymi słowy - EF będzie wyskością trójkąta CDE. Niech CF=a, DF=b. Zgodnie z twierdzeniem Talesa: EF/AD=a/b, a EF/BC=b/a. Jednak to oznacza, że EF/AD=BC/EF, a skoro EF=1, to 1/AD=BC. Niech BC=c.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy: (a+b)^2+c^2=9, (a+b)^2+1/(c^2)=4. To oznacza, że 9-c^2=4-1/(c^2), czyli: 5=c^2+1/(c^2)
Jeżeli rozwiązać to równanie, dostaniemy, że c^2=(5+sqrt(21))/2. Zatem skoro a+b to średnica studni, to a+b=sqrt(9-(5+sqrt(21))/2).
Pozdrawiam
Niech ABCD będzie czworąkątem, gdzie: AC=3, BD=2, kąty BCD i CDA są proste - bo zakładam, że studnia jest kształty walca. Proszę zauwazyć, że istnieje taka płaszczyzna, że leżą w niej oba patyki. Oczywiście C i D to punkty styku dna ze ścianą, a A i B to dwa pozostałe końce patyków (dobrze, gdyby to narysowac). Niech E będzie punktem przecięcia tych patyków. Niech F będzie prostokątnym rzutem E na odcinek CD, czyli innymi słowy - EF będzie wyskością trójkąta CDE. Niech CF=a, DF=b. Zgodnie z twierdzeniem Talesa: EF/AD=a/b, a EF/BC=b/a. Jednak to oznacza, że EF/AD=BC/EF, a skoro EF=1, to 1/AD=BC. Niech BC=c.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy: (a+b)^2+c^2=9, (a+b)^2+1/(c^2)=4. To oznacza, że 9-c^2=4-1/(c^2), czyli: 5=c^2+1/(c^2)
Jeżeli rozwiązać to równanie, dostaniemy, że c^2=(5+sqrt(21))/2. Zatem skoro a+b to średnica studni, to a+b=sqrt(9-(5+sqrt(21))/2).
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 18 sie 2004, o 21:49 przez Arek, łącznie zmieniany 1 raz.
studnia i 2 patyki
Do jakich trójkatów podobnych stosujesz to twierdzenie, cos mi sie nie zgadza. Wczoraj wieczorem probowalam rozwiazywac, nie chcialo mi sie, bo pozno na forum zajrzalam, ale konstrukcyjnie sie da skonstruowac, wiec i policzyc sie da (na pewno wlasnie trzeba odpowiednio zastosowac tw. Talesa, a potem Pitagorasa). Danych wydaje mi sie byc wystarczajaco...Arek pisze:Zgodnie z twierdzeniem Talesa: CE/AD=a/b, a CE/BC=b/a.
studnia i 2 patyki
Witam ponownie,
Cieszę się, że kogoś zainteresowałem tym zadaniem.
Dodam tylko tyle, że nauczyciel, który je zadał był kolekcjonerem, ale nietypowym - "zbierał" rozwiązania tego zadania, i jak twierdził miał ich kilka, czy kilkanaście, niestety nie pamiętam dokładnie.
a tu do w/w zadanka
Pozdrawiam
Grzesiek
Cieszę się, że kogoś zainteresowałem tym zadaniem.
Dodam tylko tyle, że nauczyciel, który je zadał był kolekcjonerem, ale nietypowym - "zbierał" rozwiązania tego zadania, i jak twierdził miał ich kilka, czy kilkanaście, niestety nie pamiętam dokładnie.
a tu
Kod: Zaznacz cały
http://www.glucholazy.info/files/Minolta%20A1/studnia.jpg
Pozdrawiam
Grzesiek
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
studnia i 2 patyki
Ależ ja głupi...
/ach głupi wy, głupi.../ - że zacytuję Adama...
Tak, ale poprawiam: oczywiście nie CE, tylko EF, wszędzie trzeba CE wstawić!
Ale poza tym? ... Chyba już dobrze...
Pozdrawiam
/ach głupi wy, głupi.../ - że zacytuję Adama...
Tak, ale poprawiam: oczywiście nie CE, tylko EF, wszędzie trzeba CE wstawić!
Ale poza tym? ... Chyba już dobrze...
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 199
- Rejestracja: 18 sie 2004, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: KRK
- Pomógł: 1 raz
studnia i 2 patyki
ja doszedlem do troche innego wyniku.
uzylem innych oznaczen.
oznaczam d-srednica studni przy podstawie i x-odcinek łączący punkt oparcia tyczki 2m o dno z punktem opuszczenia wysokosci 1m.
korzystając z tw Talesa i Pitagorasa
x/1 = d/(2^2 - d^2)
(d-x)/1 = d/(3^2 - d^2)
wyciągając x z pierwszego i podstawiając do drugiego i po przeksztalceniach otrzymujemy:
9-d^2 = (4-d^2)(3-d^2)
uzylem innych oznaczen.
oznaczam d-srednica studni przy podstawie i x-odcinek łączący punkt oparcia tyczki 2m o dno z punktem opuszczenia wysokosci 1m.
korzystając z tw Talesa i Pitagorasa
x/1 = d/(2^2 - d^2)
(d-x)/1 = d/(3^2 - d^2)
wyciągając x z pierwszego i podstawiając do drugiego i po przeksztalceniach otrzymujemy:
9-d^2 = (4-d^2)(3-d^2)
studnia i 2 patyki
Arek sie pomylil jeszcze raz w proporcjach:
EF/AD = CF/CD = a/(a+b), a EF/BC = DF/CD = b/(a+b).
Przy pisaniu proporcji bardzo ulatwia porzadne zapisanie trojkatow podobnych, wtedy rzadziej sie myle "co do czego"
Ja doszlam do tych samych wynikow co gregsky (zarejestrowal sie no no ). Metoda podobna.
Te proporcje powinny byc nastepujace:Arek pisze:Niech CF=a, DF=b. Zgodnie z twierdzeniem Talesa: EF/AD=a/b, a EF/BC=b/a.
EF/AD = CF/CD = a/(a+b), a EF/BC = DF/CD = b/(a+b).
Przy pisaniu proporcji bardzo ulatwia porzadne zapisanie trojkatow podobnych, wtedy rzadziej sie myle "co do czego"
Ja doszlam do tych samych wynikow co gregsky (zarejestrowal sie no no ). Metoda podobna.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 19 lis 2006, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
studnia i 2 patyki
Mam przykrą wiadomość ! Nikt nie zrobił poprawnie zadania z patykami w studni! Nikt nie podał prawidłowego równania i wyniku. Próbujcie dalej !!!
-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
studnia i 2 patyki
... 77c72184ae?
lub rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}-1=0}\)
co nie będzie proste.
lub rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}-1=0}\)
co nie będzie proste.
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
studnia i 2 patyki
też do tego doszedłem, ale jak zobaczyłem w Derive'u te rozwiązania na trzy linijki to aż się odechciało patrzec, a co dopiero przeanalizowac
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 19 lis 2006, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 11 cze 2009, o 22:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 4 razy
studnia i 2 patyki
Przypadkowo natrafiłem na ten temat. Wynik podany przez "Wojciech Z" jest nieprawidłowy. Dziwne, że przez ponad 2 lata nikt nie zwrócił na to uwagi.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 19 lis 2006, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
studnia i 2 patyki
Zajrzałem tu po latach i upieram się przy swoim wyniku ! Zna ktoś lepszy ?? !Longines pisze:Przypadkowo natrafiłem na ten temat. Wynik podany przez "Wojciech Z" jest nieprawidłowy. Dziwne, że przez ponad 2 lata nikt nie zwrócił na to uwagi.
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
studnia i 2 patyki
Mi wyszedł taki sam wynik jak Wojciechowi. Z uwagi na kwestie przybliżeniowe wynik jest identyczny do 4 miejsca po przecinku
Stworzyłem układ 4 równań z 4 niewiadomymi, po zredukowaniu otrzymałem pomocnicze równanie wielomianowe 4 stopnia z jednym miejscem zerowym w części dodatniej. Po podstawieniu wyniku do wzoru na średnicę otrzymałem \(\displaystyle{ 1,2311...m}\)
Stworzyłem układ 4 równań z 4 niewiadomymi, po zredukowaniu otrzymałem pomocnicze równanie wielomianowe 4 stopnia z jednym miejscem zerowym w części dodatniej. Po podstawieniu wyniku do wzoru na średnicę otrzymałem \(\displaystyle{ 1,2311...m}\)