całka z pierwiastkiem z funkcji trygonometrycznych

[macik1423]

Witam, jak rozwiązać taką całkę:

\(\displaystyle{ \int \sqrt{ \cos x \cdot \sin x } \cdot \cos x dx}\), jedyne co mi przychodzi do głowy to zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2}}\). Wychodzi takie coś: \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} \int \sqrt{t(1-t^2)} \frac{1-t^2}{(1+t^2)^3}dt}\) i tu nie wiem co dalej. Da się to jakoś przedstawić tak aby można było zastosować metodę całkowania różniczek dwumiennych?

[Chromosom]

przy podstawieniu \(\displaystyle{ \sin x=t^2}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=t}\) funkcja podcałkowa ma łatwiejszą postać. Zastosuj oba podstawienia, sprawdź która postać bardziej Ci odpowiada; w obu przypadkach powinieneś uzyskać postać różniczki dwumiennej. Próby obliczania całki nie są adekwatne do nazwy tematu: całka nieelementarna, nie powinieneś tego przewidywać przed przekształceniem do postaci która umożliwi Ci to stwierdzić, ale zostawię to słowo w nazwie tematu dopóki nie zrobisz tego co mówiłem

[macik1423]

Wybrałem to drugie podstawienie czyli \(\displaystyle{ \sin x=t}\), później z jedynki trygonometrycznej wyznaczyłem \(\displaystyle{ \cos x}\), wybrałem \(\displaystyle{ \cos x= \sqrt{1-t^{2}}}\), zrobiła mi się taka całka:
\(\displaystyle{ \int t^{ \frac{1}{2}}(1-t^{2})^{ \frac{1}{4}}dt}\), teraz podstawienie \(\displaystyle{ u^{4}= \frac{1-t^{2}}{t^{2}}}\) i ostatecznie wyszła mi taka całka \(\displaystyle{ \int \frac {-2u^{4}}{(u^{4}+1)^{2}}du}\). Jeśli tak to ma wyglądać to rzeczywiście temat, który napisałem jest trochę na wyrost.

[Chromosom]

dobrze