Warunkowa wartość oczekiwana

[slavert]

\(\displaystyle{ X1,X2,X3,X4,X5}\) niezależne o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U(0,1)}\).
Znaleźć \(\displaystyle{ E(X1|X1+X2+X3+X4+X5)}\)
Z góry dziękuję.

[Kamil_B]

Niech \(\displaystyle{ Y=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}\).
Zauważ, że wtedy dla pewnej borelowskiej funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest:
\(\displaystyle{ E(X_i|Y)=f(Y)}\) dla każdego \(\displaystyle{ i\in \{ 1,2,3,4,5\}}\).
Stąd po dodaniu stronami tych równości mamy:
\(\displaystyle{ 5f(Y)=Y}\), czyli ostatecznie \(\displaystyle{ E(X_1|Y)=\frac{1}{5}Y}\)

Edit: można też tak jak w tym temacie: 232912.htm

[slavert]

a gdyby zmienne były zależne w ten sposób X2=X3=1-X4=1-X5
to E(X1|X1+2)=E(X1|Y)=Y-2 i nie działa to więc tamten sposób nie jest dobry,
nie rozumiem gdzie tu używa się niezależności