Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Witam. Mam takie zadanie:
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna BC = 6cm, a przeciwprostokątna AB = 10cm. Dwusieczna kąta ABC i dwusieczna kąta do niego przyległego przecinają przyprostokątną AC i jej przedłużenie w punktach D i E. Obliczyć odcinek DE.
Mam rysunek, policzoną przyprostokątną i odcinek DC = 3cm. Zadanie wiem, że jest do zrobienia bez funkcji trygonometrycznych.
Dla informacji nazwa zbioru: "Zbiór zadań maturalnych i egzaminacyjnych. Część druga. Geometria i trygonometria. 1962r."
Proszę o pomoc i pozdrawiam!
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna BC = 6cm, a przeciwprostokątna AB = 10cm. Dwusieczna kąta ABC i dwusieczna kąta do niego przyległego przecinają przyprostokątną AC i jej przedłużenie w punktach D i E. Obliczyć odcinek DE.
Mam rysunek, policzoną przyprostokątną i odcinek DC = 3cm. Zadanie wiem, że jest do zrobienia bez funkcji trygonometrycznych.
Dla informacji nazwa zbioru: "Zbiór zadań maturalnych i egzaminacyjnych. Część druga. Geometria i trygonometria. 1962r."
Proszę o pomoc i pozdrawiam!
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Proszę mi z góry wybaczyć niewiedzę, jeśli źle odpowiem :] Wydaje mi się, że to kąt od wierzchołka A, przechodzi przez B i jest ograniczony przez prostopadłe do podstawy o dł. 6 ramię. Chociaż wiem, że suma miar tych kątów powinna dać 180st. a daje 90, jednak jakby to zrobić wg. tej definicji, to dwusieczna nie przetnie się z przedłużeniem przyprostokątnej AC. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? Jeszcze raz przepraszam, jeśli wypisałem tu bzdury.
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Spokojnie. nie jestem jakimś mędrcem albo kapłanem, żebyś musiał się kajać i przepraszać, jeśli nawet wypisałeś jakieś bzdury.
Tzn. coś tu jest nie tak. Sprawdziłem dla pewności w tablicach matematycznych i jest tak, jak myślałem. Kąty przyległe to po prostu kąty wypukłe, które mają wspólne ramię, a pozostałe ich ramiona dopełniają się do prostej i w związku z tym, ich suma wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\). Czy przytoczyłeś w pełni dokładnie treść zadania?
Tzn. coś tu jest nie tak. Sprawdziłem dla pewności w tablicach matematycznych i jest tak, jak myślałem. Kąty przyległe to po prostu kąty wypukłe, które mają wspólne ramię, a pozostałe ich ramiona dopełniają się do prostej i w związku z tym, ich suma wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\). Czy przytoczyłeś w pełni dokładnie treść zadania?
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Kąt przyległy do kąta ABC, to kąt CBF (lub ABG: patrz dalsza część postu):
to kąt od wierzchołka A, przechodzi przez B i jest ograniczony przez przedłużenie boku CB
Jeżeli punkt na tym przedłużeniu (u góry na rysunku) oznaczysz np. przez G, to będzie to kąt ABG. Oczywiście dwusieczna kąta CBF jest także dwusieczną kąta ABG ponieważ są to kąty wierzchołkowe. Dla rozwiązania zadania nie ma więc znaczenia który z tych dwóch kątów oznaczysz na rysunku.
Teraz sobie poradzisz?
Jakby co to jeszcze dodatkowa wskazówka: Co można powiedzieć o trójkątach BCD oraz ECB?
Oczywiście istnieją dwa kąty przyległe do kąta ABC. Wg Twojego opisu powinno być tak:dawid.barracuda pisze:Wydaje mi się, że to kąt od wierzchołka A, przechodzi przez B i jest ograniczony przez prostopadłe do podstawy o dł. 6 ramię.
to kąt od wierzchołka A, przechodzi przez B i jest ograniczony przez przedłużenie boku CB
Jeżeli punkt na tym przedłużeniu (u góry na rysunku) oznaczysz np. przez G, to będzie to kąt ABG. Oczywiście dwusieczna kąta CBF jest także dwusieczną kąta ABG ponieważ są to kąty wierzchołkowe. Dla rozwiązania zadania nie ma więc znaczenia który z tych dwóch kątów oznaczysz na rysunku.
Teraz sobie poradzisz?
Jakby co to jeszcze dodatkowa wskazówka: Co można powiedzieć o trójkątach BCD oraz ECB?
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Trójkąty BCD oraz ECB mają wspólną jedną długość, tak? Czy coś jeszcze można dodać? Chyba potrzebuję jeszcze jakąś wskazówkę do tego zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Te trójkąty są podobne* (wiesz dlaczego?)
Jakim trójkątem jest trójkąt BDE?
(*) Pozwala to bardzo łatwo obliczyć długość odcinka CE
Jakim trójkątem jest trójkąt BDE?
(*) Pozwala to bardzo łatwo obliczyć długość odcinka CE
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Dobrze widzę, że trójkąt BDE jest prostokątny? AA trójkąty BCD oraz ECB są podobne na zasadzie bkb?
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Tak jest prostokątny, ale tutaj nie chodzi o dobre widzenie, tylko o matematyczne uzasadnienie dlaczego tak jest.dawid.barracuda pisze:Dobrze widzę, że trójkąt BDE jest prostokątny?
Nie. Na razie znasz długość jednej przyprostokątnej jednego trójkąta i dwóch przyprostokątnych drugiego trójkata. To za mało na taki wniosek.dawid.barracuda pisze:A trójkąty BCD oraz ECB są podobne na zasadzie bkb?
Chodzi o cechę podobieństwa kkk.
Wysokosć BC dzieli trójkąt prostokątny BDE na dwa podobne trójkąty prostokątne o jednakowych kątach. Zauważ, że dla trójkątów prostokątnych wystarczy uzasadnić równość jednego kąta ostrego (wówczas pozostałe też muszą być równe). Wiesz dlaczego np. kąty CBD i CEB są równe?
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Już chyba wiem dlaczego trójkąt BDE jest prostokątny. Oto moje uzasadnienie:
\(\displaystyle{ 2 \alpha + 2 \beta = 180 /:2}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90}\)
Dobrze rozumuję?
\(\displaystyle{ 2 \alpha + 2 \beta = 180 /:2}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90}\)
Dobrze rozumuję?
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Więc tak. W zasadzie zadanie rozwiązałem. Dzięki informacji, że trójkąty CBD i CEB są podobne na zasadzie kkk ułożyłem proporcję:
\(\displaystyle{ \frac{6}{x + 6}= \frac{3}{6} \Rightarrow x = 6}\)
\(\displaystyle{ \left| DC\right| + \left| CE\right| = \left| DE\right|}\)
\(\displaystyle{ 3 + 12 = 15}\)
Proszę jeszcze tylko o wyjaśnienie dlaczego tak się dzieje, że te trójkąty (CBD i CEB) są podobne na zasadzie kkk i dlaczego tak się dzieje i w jakich przypadkach jeszcze.
\(\displaystyle{ \frac{6}{x + 6}= \frac{3}{6} \Rightarrow x = 6}\)
\(\displaystyle{ \left| DC\right| + \left| CE\right| = \left| DE\right|}\)
\(\displaystyle{ 3 + 12 = 15}\)
Proszę jeszcze tylko o wyjaśnienie dlaczego tak się dzieje, że te trójkąty (CBD i CEB) są podobne na zasadzie kkk i dlaczego tak się dzieje i w jakich przypadkach jeszcze.
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.
Co to jest x?dawid.barracuda pisze:Więc tak. W zasadzie zadanie rozwiązałem. Dzięki informacji, że trójkąty CBD i CEB są podobne na zasadzie kkk ułożyłem proporcję:
\(\displaystyle{ \frac{6}{x + 6}= \frac{3}{6} \Rightarrow x = 6}\)
Odpowiadające sobie boki w tych dwóch trójkątach to:
\(\displaystyle{ CD \rightarrow CB}\) - krótsza przyprostokątna
\(\displaystyle{ CB \rightarrow CE}\) - dłuższa przyprostokątna
Teraz zapiszemy odpowiednią proporcję:
\(\displaystyle{ \frac{\left| CB\right| }{\left| CD\right| }= \frac{\left|CE \right| }{\left| CB\right| }}\)
\(\displaystyle{ \frac{6}{3} = \frac{\left|CE \right| }{6} \Rightarrow \left| CE\right| =12}\)
Zauważ, że BC jest wysokością trójkąta prostokątnego EBD poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego.dawid.barracuda pisze:Proszę jeszcze tylko o wyjaśnienie dlaczego tak się dzieje, że te trójkąty (CBD i CEB) są podobne na zasadzie kkk i dlaczego tak się dzieje i w jakich przypadkach jeszcze.
Dla trójkąta EBD oznacz sobie kąt przy wierzchołku D jako \(\displaystyle{ \alpha}\), wówczas kąt przy wierzchołku E wynosi \(\displaystyle{ 90- \alpha}\).
Tym samym dla trójkąta CEB, kąt przy wierzchołku B to, \(\displaystyle{ 180-\left[ 90+(90- \alpha )\right] = \alpha}\).
Widzisz więc, że dla trzech trójkątów jeden z kątów ostrych jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\):
EBD - kąt przy wierzchołku D
CBD - kąt przy wierzchołku D
CEB - kąt przy wierzchołku B
Jeżeli jeden kąt ostry dla tych trójkątów jest taki sam, to drugi kąt ostry także jest taki sam, bo wynosi \(\displaystyle{ 90- \alpha}\) a trzeci kąt to oczywiście 90 stopni (czyli wszystkie odpowiadające sobie kąty w tych trójkątach są takie same).
Na podstawie tego możemy powiedzieć, że:
Wysokość w trójkącie prostokątnym poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego.