Punkty wewnętrzne

[porucznik]

Witam, mam mały problem z nieścisłością w definicji punktu wewnętrznego, mianowicie odnosi się to do zadania:

Ma prostej rzeczywistej mamy określoną metrykę "mur". Dla zbioru \(\displaystyle{ A = [0,1]}\) znajdź \(\displaystyle{ Int (A), cl (A), Fr(A)}\).

Teraz definicja punktu wewnętrznego:

\(\displaystyle{ x}\) jest ptk. wewn. \(\displaystyle{ \iff \exists_{\epsilon>0} K(x, \epsilon) \subset A}\). Czy chodzi tutaj o definicję kuli domkniętej czy otwartej? Bo jeśli chodzi o otwartą to nie mogę dojść do poprawnego rozwiązania, że wnętrze \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ Int (A) = [0, 1)}\), a dokładniej to że właśnie to \(\displaystyle{ 0}\) jest we wnętrzu.

Jak rozpiszę sobie kulkę w tej metryce o środku w \(\displaystyle{ 0}\), to

\(\displaystyle{ K(0, \epsilon) = \lbrace x \in X: d(x,0) < \epsilon \rbrace}\) no i nie istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon}\), żeby ta kula należała do \(\displaystyle{ A}\). Jednak jeśli wstawimy słabą nierówność:

\(\displaystyle{ K(0, \epsilon) = \lbrace x \in X: d(x,0) \leqslant \epsilon \rbrace}\) to istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon = 1}\), że \(\displaystyle{ K(0, \epsilon) = \lbrace 0 \rbrace \in [0,1]}\).

W takim razie jak powinno być? Czy może definicja z kulą otwartą jest ok, wtedy istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon = 1}\), że \(\displaystyle{ K(0, \epsilon) = \lbrace \emptyset \rbrace}\) , a zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, stąd \(\displaystyle{ x=0}\) jest we wnętrzu?

Myślę w dobrą stronę czy raczej zupełnie źle?

Pozdrawiam.

[Det]

\(\displaystyle{ K(0, \epsilon) = \lbrace x \in X: d(x,0) < \epsilon \rbrace}\) no i nie istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon}\), żeby ta kula należała do A

Jak to nie istnieje? Weź \(\displaystyle{ \epsilon = 1/2}\).

Edit: Pamiętaj, że do kuli należy jej środek.

[porucznik]

W metryce "mur" \(\displaystyle{ d(x,0) = |x| +1}\)

[Det]

Patrz na 'editke' w poście wyżej. Pozdrawiam.

Edit2:
Co by rozwiać Twoje wszelkie wątpliwości:
\(\displaystyle{ K(0, 1/2) = \lbrace 0 \rbrace \subset A}\)

Pozdrawiam i powodzenia jutro na egzaminie.

[porucznik]

Ok, dzięki.