Zbadać zbieżność całki niewłaściwej. Sformułować wykorzystane kryterium.
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x \cdot \arc\tg x}{2x^2+1} \mbox{d}x}\)
Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać. Kombinowałem coś z kryterium porównawczym, ale nic z tego nie wyszło, bo nie potrafię policzyć całki z \(\displaystyle{ \frac{\arc\tg x}{x}}\)
Z góry dzięki za pomoc
Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej
Ostatnio zmieniony 28 cze 2011, o 22:14 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Arcus tangens zapisuj \arc\tg lub \arctan. Znak mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Arcus tangens zapisuj \arc\tg lub \arctan. Znak mnożenia to \cdot.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej
Arctg jest rosnący, ponadto \(\displaystyle{ \arctan (\tg 1)=1}\)
stąd otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ x\ge \tg 1}\) mamy \(\displaystyle{ \arctan x\ge 1}\)
stąd otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ x\ge \tg 1}\) mamy \(\displaystyle{ \arctan x\ge 1}\)
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej
Choćby do tego, że dla \(\displaystyle{ x\ge \tg 1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{x\arctan x}{2x^2+1}\ge \frac{x}{2x^2 +1}}\)
i teraz naszą całkę możemy rozbić:
\(\displaystyle{ \int_1^\infty=\int_1^{\tg 1}+\int_{\tg 1}^\infty}\)
Pierwsza jest oznaczona, więc nie wpływa na zbieżność, więc wystarczy zbadać tę drugą.
i teraz naszą całkę możemy rozbić:
\(\displaystyle{ \int_1^\infty=\int_1^{\tg 1}+\int_{\tg 1}^\infty}\)
Pierwsza jest oznaczona, więc nie wpływa na zbieżność, więc wystarczy zbadać tę drugą.