zagadnienie Cauchy'ego

[jodyna]

Moje zadanie to rozwiąż zagadnienie Cauchyego \(\displaystyle{ y'=xtgy, y(0)= \frac{ \pi }{6}}\)
do pewnego momentu umiem rozwiązać to zadanie
\(\displaystyle{ \frac{dy}{tgy}=xdx}\) licze później całkę i mam
\(\displaystyle{ \frac{1}{-ln\left| cosy\right| } = \frac{1}{2} x^{2} +C}\) ale nie wiem co dalej z tym zrobić. Z góry dziękuję.

[Lorek]

Nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \int \frac{1}{f(x)}dx=\frac{1}{\int f(x)dx}}\)

[jodyna]

czyli że\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dy}{tgy} = ln\left| cosy\right|}\) jeżeli tak to wtedy:
\(\displaystyle{ ln\left| cosy\right|= \frac{1}{2} x^{2}+C}\)
\(\displaystyle{ cosy=Ce ^{ \frac{1}{2}x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ y(0)=1=Ce ^{ \frac{1}{2} 0 }}\)
\(\displaystyle{ 1=C}\)
czy tak to ma być?

[Lorek]

Ale dlaczego \(\displaystyle{ \int \frac{dy}{tgy} = ln\left| cosy\right|}\) ?

[jodyna]

no to ja już nie wiem jak ma być i \(\displaystyle{ \frac{1}{ln\left| cosy\right| }}\) i \(\displaystyle{ ln\left| cosy\right|}\) jest źle....

[Lorek]

Może na początek skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\tg y}=\ctg y}\)

[jodyna]

no tak czyli \(\displaystyle{ \int_{}^{} ln\left| siny\right|}\) ale wtedy \(\displaystyle{ sin\frac{ \pi }{6}= Ce ^{0}}\)
czyli \(\displaystyle{ C= \frac{1}{2}}\) tak ma być?

[Lorek]

A ta całka co tam robi? I \(\displaystyle{ C}\) nie wychodzi równe 0.

Teraz ok, ale wartoby jeszcze wyliczyć \(\displaystyle{ y}\).

[jodyna]

nie ma być tam tej całki

-- 28 cze 2011, o 20:15 --

\(\displaystyle{ siny= \frac{1}{2}e ^{ \frac{1}{2}x ^{2} }}\) ale nie wiem co dalej czy to koniec już?