kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżnosć podanych szeregów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sin \frac{\pi}{ 2^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sin \frac{\pi}{ 2^{n} }}\)
Ostatnio zmieniony 29 cze 2011, o 11:34 przez Dasio11, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: To jest lepszy dział.
Powód: To jest lepszy dział.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
a skąd wiadomo, że taka nierównosć jest prawdziwa? w moim podręczniku własnie było \(\displaystyle{ \sin x \ge x}\)miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ sinx<x}\)
dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)
z tym że to mnie do niczego nie prowadzi
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
a nie pomyliło mi się..36chambers pisze:a skąd wiadomo, że taka nierównosć jest prawdziwa? w moim podręczniku własnie było \(\displaystyle{ \sin x \ge x}\)miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ sinx<x}\)
dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)
z tym że to mnie do niczego nie prowadzi
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
Owszem, Miodzio napisał nierówność w dobrą stronę. Skąd wynika? Graficznie, na wykresach widać ją gołym okiem. Udowodnić można ją poprzez rachunek różniczkowy.
\(\displaystyle{ f(x)=x-sinx}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem f rośnie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\), stąd nierówność \(\displaystyle{ x \ge sinx}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x-sinx}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem f rośnie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\), stąd nierówność \(\displaystyle{ x \ge sinx}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
dziękuję za wytłumaczenieMajeskas pisze:Owszem, Miodzio napisał nierówność w dobrą stronę. Skąd wynika? Graficznie, na wykresach widać ją gołym okiem. Udowodnić można ją poprzez rachunek różniczkowy.
\(\displaystyle{ f(x)=x-sinx}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem f rośnie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\), stąd nierówność \(\displaystyle{ x \ge sinx}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
Daje Ci to dużo, bo
\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N}_+ \quad 0< \frac{ \pi }{2^{n}} \le \frac{ \pi }{2}}\). Zatem wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie (sinus jest dodatni na \(\displaystyle{ \left (0, \frac{ \pi }{2}\right)}\), czyli można korzystać z kryterium porównawczego, a dzięki dodatniości argumentu sinusa, można skorzystać z przytoczonej nierówności i jest z czym porównywać.
\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N}_+ \quad 0< \frac{ \pi }{2^{n}} \le \frac{ \pi }{2}}\). Zatem wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie (sinus jest dodatni na \(\displaystyle{ \left (0, \frac{ \pi }{2}\right)}\), czyli można korzystać z kryterium porównawczego, a dzięki dodatniości argumentu sinusa, można skorzystać z przytoczonej nierówności i jest z czym porównywać.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
wiem, już rozwiązałemMajeskas pisze:Daje Ci to dużo, bo
\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N}_+ \quad 0< \frac{ \pi }{2^{n}} \le \frac{ \pi }{2}}\). Zatem wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie (sinus jest dodatni na \(\displaystyle{ \left (0, \frac{ \pi }{2}\right)}\), czyli można korzystać z kryterium porównawczego, a dzięki dodatniości argumentu sinusa, można skorzystać z przytoczonej nierówności i jest z czym porównywać.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
Żeby pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0,}\) potrzebujesz znać wzór na pochodną sinusa. Żeby go wyprowadzić, potrzebujesz nierówności \(\displaystyle{ \sin x<x.}\) Dlatego nie tak się tego dowodzi, bo byłoby to zwykłe korzystanie z tezy.Majeskas pisze:Owszem, Miodzio napisał nierówność w dobrą stronę. Skąd wynika? Graficznie, na wykresach widać ją gołym okiem. Udowodnić można ją poprzez rachunek różniczkowy.
\(\displaystyle{ f(x)=x- \sin x}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem f rośnie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\), stąd nierówność \(\displaystyle{ x \ge \sin x}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
Klasyczny dowód wygląda tak:
dowód:
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
Nie zgodzę się z tym, że aby policzyć pochodną sinusa, należy znać nierówność \(\displaystyle{ sinx<x}\). Dowód tej nierówności przez rachunek różniczkowy jest tak samo dobry, jak ten geometryczny. Nie ma tu żadnego skorzystania z tezy. To zupełnie inny przypadek niż np. dowodzenie z reguły de l'Hospitala, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
Mógłbym.
\(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ sinz= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
\(\displaystyle{ \left(sinz \right)' = \left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \right)'=\frac{ie^{iz}+ie^{-iz}}{2i}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=cosz}\)
\(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ sinz= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
\(\displaystyle{ \left(sinz \right)' = \left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \right)'=\frac{ie^{iz}+ie^{-iz}}{2i}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=cosz}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
Rozumiem, że definiujesz sinusa i cosinusa za pomocą szeregu potęgowego liczb zespolonych. Dla tak zdefiniowanych funkcji, udowodniłeś, że jedna jest pochodną drugiej. OK.
Teraz wystarczy pewnie pokazać, że dla liczb rzeczywistych, pokrywają się te definicje funkcji trygonometrycznych. Jak zamierzasz to udowodnić? ;->
Teraz wystarczy pewnie pokazać, że dla liczb rzeczywistych, pokrywają się te definicje funkcji trygonometrycznych. Jak zamierzasz to udowodnić? ;->
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów
Nijak. Definiowanie funkcji trygonometrycznych za pomocą funkcji wykładniczej, czyli tzw. wzorami Eulera jest dobre dla każdej liczby zespolonej (i nie muszę tu nic udowadniać, jest to po prostu jedna z uznanych definicji funkcji trygonometrycznych), więc w szczególności dla rzeczywistej. Pokazałem tak naprawdę więcej niż chciałeś. Cosinus jest pochodną sinusa na całej dziedzinie zespolonej, czyli w szczególności na podzbiorze tej dziedziny - zbiorze liczb rzeczywistych. Myślę, że na tym etapie można już zakończyć to czepialstwo i uznać, że nie jest niczym zdrożnym dowodzenie tej nieszczęsnej nierówności poprzez rachunek różniczkowy.