równanie różniczkowe II rzędu

[kullcia]

Witam,

Natrafiłam na mały problem... Mam zadanie:
Rozwiąż równanie różniczkowe \(\displaystyle{ 2yy'-3y'^2=4y^2}\). Najpierw spróbowałam podstawienia \(\displaystyle{ y'=u(y)}\) ale jakoś mi to nie szło więc spróbowałam podstawienia \(\displaystyle{ y=e^{u(x)} \Rightarrow y'=e^{u}u'}\) i dostałam:
\(\displaystyle{ 2e^{2u}u'-3e^{2u}u'^{2}=4e^{2u}}\) podzieliłam wszytsko stronami przez \(\displaystyle{ e^{2u}}\)
i otrzymałam \(\displaystyle{ 2u'-3u'^2-4=0}\) co teraz?? mam z tego z podstawienia \(\displaystyle{ u'=p(x)}\) zrobić funkcję kwadratową (jeśli tak to Delta wychodzi mi mniejsza od 0). Mam gdzieś błąd którego nie widzę, czy mam zrobić to jakoś inaczej??

Proszę o pomoc

[octahedron]

\(\displaystyle{ 2yy'-3y'^2=4y^2\\
y'^2-\frac{2}{3}yy'+\frac{1}{9}y^2=-\frac{11}{9}y^2\\
\left( y'-\frac{1}{3}y\right)^2=-\frac{11}{9}y^2\\}\)
Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ y(x)=0}\)

[kullcia]

dziękuję:) choć pewnie na egzaminie bym na to nie wpadła... a można ewentualnie zastosować tu jakies podstawienie?

[octahedron]

Podstawienie nic nie da, bo to jedyne rozwiązanie, innego być nie może. W tego typu równaniu można spróbować tak:
\(\displaystyle{ 2yy'-3y'^2=4y^2\ /:y^2\\
-3\left(\frac{y'}{y}\right)^2 +2\left(\frac{y'}{y}\right)-4=0\\
-3t^2 +2t-4=0\\}\)
Gdyby tu wyszły jakieś pierwiastki, to wtedy dostajemy równania o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ \frac{y'}{y}=t_o\\
y=Ce^{t_ox}\\}\)
i zależnie od liczby pierwiastków mamy dwa lub jedno rozwiązanie

[mattmiller]

ale pierwiastki przeciez mogą byc zespolone ...

[octahedron]

Ale wtedy rozwiązanie też będzie funkcją zespoloną...