równanie różniczkowe z war. początkowym do sprawdzenia

[kullcia]

Cześć,
znalazłam równanie z egzaminu z poprzednich lat i chciałabym mieć pewność, że wszytsko jest ok. Bardzo prosiłabym o sprawdzenie:)


Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=(x-y)^2+1}\) przy warunku początkowym \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=(x-y)^2+1}\) wykonuję podstawienie \(\displaystyle{ x-y=u \Rightarrow x-u=y \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=1-\frac{du}{dx}}\). Po podstawieniu mam, że:
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=-u^2}\)
\(\displaystyle{ -\int\frac{1}{u^2}du= \int dx \Rightarrow \frac{1}{u}=x+c}\) wracam do starej zmiennej
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-y}=x+c}\) z warunku początkowego mam, że \(\displaystyle{ c=1}\)
ostatecznie \(\displaystyle{ \frac{1}{x-y}=x-1 \Rightarrow
1=x^2-xy-x-y \Rightarrow y=\frac{1-x^2}{-2x}}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Czy ostatnie założenie nie kłóci mi się z warunkiem początkowym?

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-y}=x+c}\) z warunku początkowego mam, że \(\displaystyle{ c=1}\)

Później też są błędy, ale pierwszy został zrobiony tu.

Q.

[kullcia]

racja, \(\displaystyle{ c=-2}\). w takim razie: \(\displaystyle{ \frac{1}{x-y}=x-2 \Rightarrow 1=(x-2)(x-y) \Rightarrow y=\frac{1-x^2-2x}{-x-2}}\) przy warunku, że \(\displaystyle{ x \neq -2}\), teraz dobrze?

[Qń]

Dobrze, z tym, że dziedzina (czyli warunek) jest trochę inna.

Q.

[kullcia]

właśnie go poprawiłam:) bardzo bardzo dziękuje!:)