Funkcja f jest quasi-półciągła

[l-piszczyk]

Jest ktoś w stanie pokazać, że te warunki są równoważne? Bo ja nie daję dary. Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \begin{wniosek}\label{wni1a}
Następujące warunki są równoważne:
\begin{itemize}
\item Funkcja $f$ jest quasi-półciągła z dołu (góry) w punkcie $x_0$.
\newline
\item Dla każdego otoczenia $U$ punktu $x_0$ i dla $a \in \mathbb{R}$ takich, że $a<f(x_0) \quad (f(x_0)<a)$ posiada $U \cap Int \{x \in \mathbb{X} : a<f(x) \} \neq \varnothing \quad (U \cap Int \{x \in \mathbb{X} : f(x)<a \} \neq \varnothing)$.
\newline
\item Dla każdego otoczenia $U$ punktu $x_0$ i dla $a \in \mathbb{R}$ takich, że $a<f(x_0) \quad (f(x_0)<a)$ istnieje zbiór $U'$, $\varnothing \neq U' \subset U$ taki, że $f(U') \subset (a, + \infty) \quad (f(U') \subset (- \infty, a))$
\end{itemize}
\end{wniosek}

Tutaj jest drugi wniosek:

\begin{wniosek}\label{wni1a}
Następujące warunki są równoważne:
\begin{itemize}
\item Funkcja $f$ jest quasi-półciągła z dołu (góry) w $\mathbb{X}$.
\newline
\item Dla każdego $a \in \mathbb{R}$ zbiór $\{x \in \mathbb{X} : a<f(x) \} \quad (\{x \in \mathbb{X} : f(x)<a \}$ jest półotwarty.
\newline
\item Dla każdego $a \in \mathbb{R}$ zbiór $\{x \in \mathbb{X} : f(x) \leq a \} \quad (\{x \in \mathbb{X} : a \leq f(x) \}$ jest półdomknięty.
\end{itemize}
\end{wniosek}}\)

[szw1710]

Może zanalizuj podobne twierdzenia dla funkcji półciągłych. Słowo półotwarty zastępujemy przz otwarty, podobnie z domkniętością. Po takiej analizie wszystko powinno stać się jasne.

Świetny wykład teorii funkcji półciągłych znajdziesz w książce Łojsaiewicza "Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych".