Zerowa wariancja

[Mikolaj9]

Pokazać, że wariancja zmiennej losowej jest równa 0, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona równa stałej prawie wszędzie. Widzę to, ale nie wiem do końca jak to formalnie pokazać. Proszę o wskazówki.

[szw1710]

Jest takie twierdzenie z teorii miary, że jeśli całka Lebesgue'a (względem miary abstrakcyjnej) z mierzalnej funkcji nieujemnej wynosi zero, to funkcja ta jest równa zero prawie wszędzie. Wariancja jest całką z funkcji nieujemnej:

\(\displaystyle{ D^2X=\int_{\Omega}\bigl(X(\omega)-EX\bigr)^2P(d\omega)}\)

Więc jeśli \(\displaystyle{ D^2X=0,}\) to \(\displaystyle{ X(\omega)=EX}\) prawie wszędzie..

[Mikolaj9]

\(\displaystyle{ D^2X=\int_{\Omega}\bigl(X(\omega)-EX\bigr)^2dP(\omega)}\)?

Nam nie wprowadzono jeszcze całki Lebesgue'a. Bardziej chodziło mi o pokazanie tego ze wzoru na wariancję

\(\displaystyle{ VarX=EX^{2}-E^{2}X}\), gdzie
\(\displaystyle{ EX= \sum_{x \in S}^{} xP(X=x)+ \int_{- \infty }^{+ \infty }xf(x)dx}\) S-punkty nieciągłości dystrybuanty, f-gęstość.

O ile dobrze pamiętam wzór na EX

[szw1710]

A całkę Riemanna-Stieltjesa przerabiałeś?

Mój wykład rachunku prawdopodobieństwa na studiach poprzedzała teoria miary, stąd zadanie jest dla mnie trywialne w tłumaczeniu jakie przedstawiłem. Inaczej tak czy owak wariant powyższego twierdzenia trzeba udowodnić.

[Mikolaj9]

Też nie.

[szw1710]

No to sprawa jest poważniejsza. Zastanów się nad gęstością i jej własnościami ciągłościowymi.

Musisz wykazać, że zerowanie się wariancji implikuje, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest równa swojej wartości oczekiwanej prawie wszędzie. Możesz spróbować też ze wzorem (który de facto wykorzystałem): \(\displaystyle{ D^2X=E\bigl[(X-EX)^2\bigr].}\)