rozwiązanie układu równań z pochodnymi

[Ola964]

Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ f \text{, } g \text{ i } h}\) mając dany układ równań:
\(\displaystyle{ g'_{x} - f'_{y} = y \sin x \\
h'_{y} - g'_{z} = x \cos z \\
h'_{x} - f'_{z} = y \cos z}\)

[octahedron]

Nie wiem, co na to mówi teoria, ale pomysł mam taki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} g_{x} - f_{y} =y\sin x\\h_{y} - g_{z} = x\cos z \\h_{x} - f_{z} = y\cos z\end{cases}\\
\begin{cases} g_{xz} - f_{yz} =0\\h_{yx} - g_{zx} = \cos z \\h_{xy} - f_{zy} = \cos z\end{cases}\\}\)
zakładamy ciągłość pochodnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} g_{xz} - f_{yz} =0\\h_{xy} - g_{xz} = \cos z \\h_{xy} - f_{yz} = \cos z\end{cases}\\
g_{xz} = f_{yz}=C_1(x,y,z)\\
g_{x}=\int C_1(x,y,z)\ dz+C_2(x,y)\\
g(x,y,z)=\int g_{x}\ dx=\iint C_1(x,y,z)\ dzdx+\int C_2(x,y)\ dx +G\\
f(x,y,z)=\int f_{y}\ dy=\int g_{x}-y\sin x\ dy=\int C_1(x,y,z)\ dzdy+\int C_2(x,y)\ dy-\frac{y^2}{2}\sin x+F\\
g_{z}=\int C_1(x,y,z)\ dx\\
h(x,y,z)=\int h_{y}\ dy=\int g_{z}+x\cos z\ dy=\iint C_1(x,y,z)\ dxdy+xy\cos z+H\\}\)