Szereg potęgowy

[seen90]

Witam, mam do policzenia szereg potęgowy i przedziały zbieżności. Prosze o sprawdzenie i dalsze wskazówki gdyż robię to zadanie tylko do pewnego momentu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2} (x + 2)^n \\ \\
\lambda = \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n + 1)^2} n^2= \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{n^2}{n^2} }{ \frac{n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{2}{n^2} } = \frac{1}{1+0+0} = 1}\)

wiemy że \(\displaystyle{ R = \frac{1}{\lambda}}\)

czyli \(\displaystyle{ R =1}\)

\(\displaystyle{ | x + 2| <1 \\
x + 2 <1 \\
x + 2 >-1 \\
x <-1 \\
x >-3 \\ \\
x =(-3;-1)}\)

i teraz podobno należy policzyć granice w tych punktach ? I tego właśnie nie rozumiem po co to liczyć i jak to policzyć skoro \(\displaystyle{ (1^n)}\) to symbol nieoznaczony

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n^2} (-1)^n \\ \\
\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} (-3)^n}\)

Prosze pomóżcie ;]

[rodzyn7773]

Nie tyle należy policzyć granicę w tych punktach co sprawdzić, czy podany szereg jest zbieżny na krańcach przedziału zbieżności bo może tam być zbieżny a może nie być.

[Dasio11]

Z twierdzenia, że \(\displaystyle{ R= \frac{1}{\lambda}}\) wynika tylko tyle, że dla \(\displaystyle{ |x+2|<R}\) szereg jest zbieżny a dla \(\displaystyle{ |x+2|>R}\) szereg jest rozbieżny. Nie mówi ono nic o przypadku \(\displaystyle{ |x+2|=R,}\) dlatego musisz go sprawdzić ręcznie, co jest dokładnie badaniem zbieżności na krańcach przedziału.

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n^2} (-1)^n \\ \\
\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} (-3)^n}\)

Granice, które napisałeś, nie mają związku z tematem. Powinieneś zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n^2}}\)

dla \(\displaystyle{ x=-3}\) oraz dla \(\displaystyle{ x=-1,}\) czyli zbadać zbieżność szeregów:

dla \(\displaystyle{ x=-3:}\) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3+2)^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}}\)

dla \(\displaystyle{ x=-1:}\) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1+2)^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}\)

Wiesz, jak się za to zabrać?

mała uwaga:    

\(\displaystyle{ 1^n}\) to nie symbol nieoznaczony. Symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) występuje przy granicy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n^{b_n},}\)

o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_n=\infty,}\) przy czym w ciągu \(\displaystyle{ \left( a_n \right)}\) nie występuje wyraz równy jeden. Np. z granicą

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 1^n=1}\)

nie ma żadnego problemu, bo \(\displaystyle{ 1^n}\) jest stale równe \(\displaystyle{ 1.}\) Za to symbol \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) występuje np. w granicy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \cos \frac{1}{n} \right)^{n^2}}\)

i z tą już jest większy problem.

[seen90]

są zbieżne w obu przybadkach czyli x = <-3 ; -1> ?

[Dasio11]

Tak, są zbieżne.