Płaszczyzna, 3 punkty i wyznaczenie symetrycznego

[Serphis]

Proszę o sprawdzenie poprawności moich rozwiązań

Dana jest płaszczyzna P=2x+3y-z=9

Znaleźć punkt A' symetryczny symetryczny do punkt A(0,0,5) względem płaszczyzny P

A(0,0,5)
A'(x,y,z)

\(\displaystyle{ \ \vec{AA'}[x,y,z-5]}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}[2,3,-1]}\)

\(\displaystyle{ [x,y,z-5]= \alpha [2,3,-1]}\)

\(\displaystyle{ x=2 \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=3 \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=5- \alpha}\)

\(\displaystyle{ 4 \alpha +9 \alpha -5 \alpha =9}\)
\(\displaystyle{ \alpha =1}\)

x=2
y=3
z=4

A'[2,3,4]

Napisać równanie płaszczyzny P1 zawierającej punkty A,A', B(1,-1,2)


\(\displaystyle{ \vec{AB}[1,-1,-3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AA'}[2,3-1]}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AA'}=5[2,-1,1]}\)

P1=2x-y+z=5

z góry dziękuje

[Majeskas]

Nie wiem, czy masz przed oczami właściwy obrazek, który znacznie ułatwia rozwiązanie zadania. Z założenia że \(\displaystyle{ A'}\) spełnia równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ P}\) i wektor \(\displaystyle{ \vec{AA'}}\) jest krotnością wektora prostopadłego do tej płaszczyzny, wynika jednoznacznie, że \(\displaystyle{ A'}\)jest rzutem prostopadłym punktu \(\displaystyle{ A}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ P}\). To całkiem dobry krok, gdyż mając rzut łatwo znaleźć obraz w symetrii. Natomiast nie jest to poprawna odpowiedź na pytanie o symetrię \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ P}\), tylko połowa drogi do rozwiązania.

Na rysunku jest widać wszystko, o czym mówię.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez zadane punkty jest ok, co bardzo łatwo sprawdzić, wstawiając ich współrzędne do wzoru.

Pozdrawiam.

[Serphis]

Już wiem co dalej, dzięki za pomoc