Rozwiązać równanie kwadratowe.

[Oldevil]

\(\displaystyle{ z^{2}+(i-2)z+2+2i}\)
Pierwiastki podać w postaci kanonicznej.
Nie korzystać z postaci trygonometrycznej przy znajdowaniu pierwiastków.

\(\displaystyle{ \delta=i^{2}+4i-4}\)
\(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)
wiec
\(\displaystyle{ \delta=4i-5}\)
czyli pierwiastek z delty jest równy:
\(\displaystyle{ \sqrt{4i-5}}\)
i co mam dalej zrobić?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sqrt{4i-5}=a+bi}\)

Wyznacz \(\displaystyle{ a,b}\)

[Oldevil]

ale jak to wyznaczyć?
a=-5
b=4
tak mi się nie wydaje

[miodzio1988]

Nie. Podnieś obie strony do kwadratu

[Oldevil]

otrzymałem następujące równanie:

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+5-i\left( 4-2ab\right)=0}\) zle zaraz zorbie dobrze

[miodzio1988]

Rozwiąż to równanie

[Oldevil]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -5=a^{2}-b^{2}\\4=2ab \end{array}}\)
teraz wyliczam:
\(\displaystyle{ a=2/b}\)
\(\displaystyle{ -5=4/b^{2} -b^{4}/b^{2}}\)

\(\displaystyle{ b^{4}-5b^{2}-4=0}\)

\(\displaystyle{ b^{2}=t}\)

pierwiastek z delty wynosi 3
\(\displaystyle{ t_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=4}\)
\(\displaystyle{ b^{2}=1 \vee b^{2}=4}\)

teraz mam rozpatrzeć b=1 lub b=-1 lub b=2 lub b=-2??

[Majeskas]

Nie mogą wyjść 4 rozwiązania układu, bo wynikałoby z tego, że istnieją 4 pierwiastki kwadratowe z liczby \(\displaystyle{ 4i-5}\), a wiadomo, że nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) z dowolnej liczby istnieje dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków n-tego stopnia. Błąd jest w rozwiązaniu równania kwadratowego.


\(\displaystyle{ t ^{2}-5t-4=0 \Leftrightarrow \left(t= \frac{5+ \sqrt{41} }{2} \vee t=\frac{5- \sqrt{41} }{2} \right)}\)

A ponieważ \(\displaystyle{ t=\frac{5- \sqrt{41} }{2}<0}\) i \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\), to mamy dokładnie dwa rozwiązania i wszystko się zgadza.