równania różniczkowe

[sylaa88]

a). \(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + y(1-y) = 0}\)
b). \(\displaystyle{ 2 \frac{dy}{dx} + y \ctg x = \frac{8 \cos ^ {3}x}{y}}\)
c). \(\displaystyle{ e^{y} (1+ x^{2} ) \frac{dy}{dx} - x(1+ e^{y} ) = 0}\)
d). \(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + y = y^{2} \cdot \ln x}\)

proszę o pomoc w rozwiązaniu tych równań. Pierwsze robiłam przez rozdzielenie zmiennych, drugie doprowadziłam do postaci liniowej, ale nie wiem co dalej..
pomóżcie

[cosinus90]

Pokaż dokładnie, co i jak robisz.

Trzecie to równanie zupełne, a czwarte to równanie Bernoulliego.

[sylaa88]

dziękuje bardzo już wiem, tylko teraz mam problem z tym równaniem 4
po przekształceniu wyszło mi coś takiego i nie wiem co dalej

\(\displaystyle{ p'(x) - \frac{1}{x} \cdot p(x) = - \frac{ \ln x }{x}}\)

R.J
\(\displaystyle{ p'(x) - \frac{1}{x} \cdot p(x) = 0\\ p_{0} = C \cdot e^{ \ln x } = C \cdot x}\)
po uzmiennieniu stałej RN:
\(\displaystyle{ p_{s} = C(x) \cdot x\\ p'_{s} = C'(x) \cdot x + C(x) \cdot 1}\)
podstawiłam
\(\displaystyle{ C'(x) \cdot x + C(x) - ( \frac{1}{x} \cdot C(x) \cdot x) = - \frac{ \ln x }{x} \\C'(x) \cdot x = - \frac{ \ln x }{x} \\ C'(x) = - \frac{ \ln x }{x^2} \\ C(x)= - \int \frac{ \ln x }{x^2}}\)
i nie wiem jak tą całkę rozwiązać...

[cosinus90]

Popraw zapis.
Całkę oblicz przez części, potem przez podstawienie.

[sylaa88]

ok dzięki już mam

a może naprowadził byś mnie jeszcze na rozwiązanie tej 3 ? bo nie wiem od czego zacząć nawet..

[cosinus90]

Tak jak napisałem, jest to równanie różniczkowe zupełne. Znasz schemat liczenia?

[miodzio1988]

Tak jak napisałem, jest to równanie różniczkowe zupełne. Znasz schemat liczenia?

Możesz to udowodnić?

[cosinus90]

Dokładniej mówiąc jeszcze nim nie jest, należy najpierw sprawdzić warunek zupełności.

[miodzio1988]

A jak warunek zupełności nie jest spełniony to co wtedy?

[cosinus90]

Haha to jest pytanie do mnie ? przepytujesz mnie ?

[miodzio1988]

No ba. Bo trzecie tutaj zupełne nie jest dlatego pytam się co robić

[cosinus90]

Tak jak napisałem wcześniej, jeszcze nim nie jest - ale celowo rzuciłem hasłem, co by się koleżanka nie pogubiła w podanych algorytmach liczenia i sama sobie to sprawdziła
Jak to odpowiadał pewien wykładowca na każde pytanie - " odsyłam do literatury "

[Mariusz M]

a

Równanie o rozdzielonych zmiennych

\(\displaystyle{ x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y\left(1-y\right)=0\\
x\mbox{d}y+y\left(1-y\right)\mbox{d}x=0
x\mbox{d}y=y\left(y-1\right)\mbox{d}x\\
\frac{\mbox{d}y}{y\left(y-1\right)}=\frac{\mbox{d}x}{x}\\
\left(\frac{1-y+y}{y\left(y-1\right)}\right)\mbox{d}y=\frac{\mbox{d}x}{x}\\
\left(-\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}\right)\mbox{d}y=\frac{\mbox{d}x}{x}\\
\ln{|\frac{y-1}{y}|}=\ln{|x|}+C\\
1-\frac{1}{y}=Cx\\
\frac{1}{y}=1-Cx\\
y=\frac{1}{1-Cx}\\}\)

b

Równanie Bernoulliego

\(\displaystyle{ 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y\cot{x}=\frac{8\cos^{3}{x}}{y}\\
2y\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y^2\cot{x}=8\cos^{3}{x}\\
u=y^2\\
u^{\prime}+u\cot{x}=8\cos^{3}{x}\\
u^{\prime}+u\cot{x}=0\\
u^{\prime}=-u\cot{x}\\
\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}=-\frac{u\cos{x}}{\sin{x}}\\
\frac{\mbox{d}u}{u}=-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\mbox{d}x\\
\ln{|u|}=-\ln{|sin{x}|}+C\\
u=\frac{C}{\sin{x}}\\
u\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{\sin{x}}\\
\frac{C^{\prime}\left(x\right)}{\sin{x}}-\frac{C\left(x\right)\cos{x}}{\sin^{2}{x}}+\frac{C\left(x\right)\cos{x}}{\sin^{2}{x}}=8\cos^{3}{x}\\
\frac{C^{\prime}\left(x\right)}{\sin{x}}=8\cos^{3}{x}\\
C^{\prime}\left(x\right)=8\cos^{3}{x}\sin{x}\\
C\left(x\right)=-2\cos^{4}{x}+C\\
u=\frac{-2\cos^{4}{x}+C}{\sin{x}}\\
y^2=\frac{-2\cos^{4}{x}+C}{\sin{x}}\\
y=\pm\sqrt{\frac{-2\cos^{4}{x}+C}{\sin{x}}}\\}\)

c)

Równanie o rozdzielonych zmiennych

\(\displaystyle{ e^{y}\left(1+x^2\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-x\left(1+e^{y}\right)=0\\
e^{y}\left(1+x^2\right)\mbox{d}y-x\left(1+e^{y}\right)\mbox{d}x=0\\
\frac{e^{y}}{1+e^{y}}\mbox{d}y-\frac{x}{1+x^2}\mbox{d}x\\
\frac{e^{y}}{1+e^{y}}\mbox{d}y=\frac{x}{1+x^2}\mbox{d}x\\
\ln{|1+e^{y}|}=\frac{1}{2}\ln{|1+x^2|}+C\\
1+e^{y}=C\sqrt{1+x^2}\\
e^{y}=-1+C\sqrt{1+x^2}\\
y=\ln{|-1+C\sqrt{1+x^2}|}}\)

d)

Równanie Bernoulliego

\(\displaystyle{ x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y=y^2\ln{x}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+\frac{y}{x}=y^2\frac{\ln{x}}{x}\\
-\frac{\mbox{d}y}{y^2\mbox{d}x}-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}=-\frac{\ln{x}}{x}\\
u=\frac{1}{y}
u^{\prime}-\frac{1}{x}u=-\frac{\ln{x}}{x}\\
u^{\prime}-\frac{1}{x}u=0\\
u^{\prime}=\frac{1}{x}u\\
\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}=\frac{1}{x}u\\
\frac{\mbox{d}u}{u}=\frac{1}{x}\mbox{d}x\\
\ln{|u|}=\ln{|x|}+C=
u=Cx\\
u\left(x\right)=C\left(x\right)x\\
C^{\prime}\left(x\right)x+C\left(x\right)-C\left(x\right)=-\frac{\ln{x}}{x}\\
C^{\prime}\left(x\right)x=-\frac{\ln{x}}{x}\\
C^{\prime}\left(x\right)=-\frac{\ln{x}}{x^2}\\
C\left(x\right)=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C\\
u=\ln{x}+1+Cx\\
\frac{1}{y}=\ln{x}+1+Cx\\
y=\frac{1}{\ln{x}+1+Cx}}\)