Witam. Mam problem z rozwiązaniem następującego układu równań w zależności od parametru a:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y-z=0\\3x+ay=0\\4x-4y-az=0 \end{array}}\)
Układ równań w zależności od parametru a
Układ równań w zależności od parametru a
Po pierwsze należy zauważyć, że wektor \(\displaystyle{ [x,y,z]=[0,0,0]}\) jest rozwiązaniem tego układu (zatem równanie, niezależnie od parametru \(\displaystyle{ a}\), nie jest sprzeczne). Wyznacznik macierzy głównej układu jest równy \(\displaystyle{ \det A = -a^2 + a + 12}\). Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \det A =0}\) otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ a\not\in\{-3,4\}}\) układ posiada (z tw. Cramera) dokładnie jedno rozwiązanie (zerowe).
Przypadek \(\displaystyle{ a = 4}\).
Odrzucamy trzecie równanie i przenosimy \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x - y = z \\
3x + 4y = 0
\end{cases}}\)
Rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = \frac{4}{7}z \\
y = -\frac{3}{7}z \\
z \in \mathbb{R}.
\end{cases}}\)
Przypadek \(\displaystyle{ a = -3}\).
Odrzucamy drugie równanie i przenosimy \(\displaystyle{ y}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x - z = y \\
4x + 3z = 4y
\end{cases}}\)
Rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = y \\
y \in \mathbb{R} \\
z =0.
\end{cases}}\)
Przypadek \(\displaystyle{ a = 4}\).
Odrzucamy trzecie równanie i przenosimy \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x - y = z \\
3x + 4y = 0
\end{cases}}\)
Rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = \frac{4}{7}z \\
y = -\frac{3}{7}z \\
z \in \mathbb{R}.
\end{cases}}\)
Przypadek \(\displaystyle{ a = -3}\).
Odrzucamy drugie równanie i przenosimy \(\displaystyle{ y}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x - z = y \\
4x + 3z = 4y
\end{cases}}\)
Rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = y \\
y \in \mathbb{R} \\
z =0.
\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 cze 2011, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
Układ równań w zależności od parametru a
Już wszystko rozumiem. Dzięki wielkie za pomoc. I to już jest całe zadanie? Spróbuję zrobić na tej zasadzie kolejne i wrzucę moje rozwiązanie dla układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x+y+z=0\\4x+ay-4z=0\\3x-3y+az=0 \end{array}}\)
wyznacznik macierzy głównej det A= \(\displaystyle{ a^{2}}\)-7a-12
Rozwiązując det A = 0
Otrzymuje ze dla \(\displaystyle{ a\not\in \left\{ -4,-3\right\}}\) układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Przypadek a=-4
Odrzuciłem 3 równanie i wyszło:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y=z\\4x-4y=4z \end{array}}\)
i co mam dalej z tym zrobić?
-- 3 lip 2011, o 17:46 --
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y-z=0\\3x+ay=0\\4x-4y-az=0 \end{array}}\)[/quote]
jak to rozwiązać za pomocą rozwinięcia Laplace'a ??
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x+y+z=0\\4x+ay-4z=0\\3x-3y+az=0 \end{array}}\)
wyznacznik macierzy głównej det A= \(\displaystyle{ a^{2}}\)-7a-12
Rozwiązując det A = 0
Otrzymuje ze dla \(\displaystyle{ a\not\in \left\{ -4,-3\right\}}\) układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Przypadek a=-4
Odrzuciłem 3 równanie i wyszło:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y=z\\4x-4y=4z \end{array}}\)
i co mam dalej z tym zrobić?
-- 3 lip 2011, o 17:46 --
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y-z=0\\3x+ay=0\\4x-4y-az=0 \end{array}}\)[/quote]
jak to rozwiązać za pomocą rozwinięcia Laplace'a ??