Układ równań - macierz 2x3
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy
- Podziękował: 10 razy
Układ równań - macierz 2x3
Witam, mam małe zadanko z którym nie wiem co zrobić ... Chodzi o takie coś:
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)
Oczywiście zaczynam od tego iż robię macierz 2x3 - tylko nie wiem co dalej...
Gdyby ktoś chociaż naprowadził mnie to byłoby super
Z góry pozdrawiam i dziękuję
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)
Oczywiście zaczynam od tego iż robię macierz 2x3 - tylko nie wiem co dalej...
Gdyby ktoś chociaż naprowadził mnie to byłoby super
Z góry pozdrawiam i dziękuję
-
- Użytkownik
- Posty: 692
- Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 107 razy
Układ równań - macierz 2x3
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)
Przerzucasz \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)
Pierwsze równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ (-2)}\) i dodajesz do drugiego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 5y=2+3z \end{cases}}\)
Drugie równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \end{cases}}\)
Drugie równanie dodajesz do pierwszego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \\z \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
PS: To mój pierwszy post na forum.
Przerzucasz \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)
Pierwsze równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ (-2)}\) i dodajesz do drugiego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 5y=2+3z \end{cases}}\)
Drugie równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \end{cases}}\)
Drugie równanie dodajesz do pierwszego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \\z \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
PS: To mój pierwszy post na forum.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy
- Podziękował: 10 razy
Układ równań - macierz 2x3
Czyli wyjdzie - układ sprzeczny?ares41 pisze:Dopisz sobie trzecie równanie:
\(\displaystyle{ 0x+0y+0z=0}\)
i skorzystaj z metody Cramera
Układ równań - macierz 2x3
No właśnie się zastanawiam. Bo wzorki nam mówią, żeby dzielić przez \(\displaystyle{ detA}\). Tylko wyznacznik wyjdzie zerowy jeśli wstawimy te trzy sztuczne zera
Układ równań - macierz 2x3
No to akurat od razu widać fenix86, ładnie rozwalił to zadanko bez wzorów Cramera. I prawidłowo.
Układ równań - macierz 2x3
Nie można zastosować wzorów Cramera (jeśli dopiszemy sztuczne zera), gdyż macierz główna układu (wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) będzie osobliwa. Wzory Cramera można byłoby zastosować po przerzuceniu zmiennej \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę, traktując ją jako parametr.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Układ równań - macierz 2x3
Tyle że nie chodziło mi o stosowanie wzorów Cramera tylko o zastosowanie metody Cramera, w której w pierwszej kolejności sprawdza się wyznacznik główny, potem pozostałe i na tej podstawie określa się charakter układu.fenix86 pisze:Nie można zastosować wzorów Cramera (jeśli dopiszemy sztuczne zera), gdyż macierz główna układu (wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) będzie osobliwa.
Nie powinno się utożsamiać metody Cramera ze wzorami Cramera, bo te wzorki to tylko część całej metody rozwiązywania układów równań liniowych.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy
- Podziękował: 10 razy
Układ równań - macierz 2x3
powracając do tego zadania - nie da się tego zrobić inną metodą - tzn metoda Cramera ?
- Iron_Slax
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 27 sie 2011, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Układ równań - macierz 2x3
Można. Trzeba skorzystać z Twierdzenia Kroneckera-Capellego:
Widać tutaj że rząd macierzy jest 2. a więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)
Robimy z tego macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1\\2&3\end{bmatrix}}\)
i obliczamy wyznacznik. Wynosi on 5.
Teraz przenosimy parametry na prawą stronę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)
I obliczamy zwykłym Cramerem:
\(\displaystyle{ |A_x| = \begin{vmatrix} 1-z&-1\\4+z&3\end{vmatrix} = 7+z \\ x = \frac{7}{5}+\frac{1}{5}z}\)
I tak samo z Y:
\(\displaystyle{ |A_y| = \begin{vmatrix} 1&1-z\\2&4+z\end{vmatrix} = 2+3z \\ x = \frac{2}{5}+\frac{3}{5}z}\)
Widać tutaj że rząd macierzy jest 2. a więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)
Robimy z tego macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1\\2&3\end{bmatrix}}\)
i obliczamy wyznacznik. Wynosi on 5.
Teraz przenosimy parametry na prawą stronę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)
I obliczamy zwykłym Cramerem:
\(\displaystyle{ |A_x| = \begin{vmatrix} 1-z&-1\\4+z&3\end{vmatrix} = 7+z \\ x = \frac{7}{5}+\frac{1}{5}z}\)
I tak samo z Y:
\(\displaystyle{ |A_y| = \begin{vmatrix} 1&1-z\\2&4+z\end{vmatrix} = 2+3z \\ x = \frac{2}{5}+\frac{3}{5}z}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy
- Podziękował: 10 razy