pole zawarte między wykresami

buszujacy · Post autor: **buszujacy** » 26 cze 2011, o 16:53

hej

czy ktoś może mi pomóc z wykresem i powiedzieć jak będzie ta całka wyglądać?
obliczyć pewnie już sobie oblicze sam ale jakoś nie potrafię dojść do tego jak ta całka ma wyglądać :/

pole zawarte między wykresami funkcji o wzorze:

\(\displaystyle{ y=\arccot 2x}\) oraz osią OX w przedziale <0;0,5>

pozdrawiam

Post autor: **loitzl9006** » 26 cze 2011, o 17:43

Narysuj sobie układ współrzędnych (oś pionowa to oś \(\displaystyle{ y}\) skierowana w górę, oś pozioma to oś \(\displaystyle{ x}\) skierowana w prawo), a w nim wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\ctg (2x)}\) w przedziale \(\displaystyle{ (0; \pi )}\) wyraźną, grubą linią.

Potem odwróć kartkę, weź ją do światła i w ten sposób zobaczysz wykres funkcji \(\displaystyle{ y=\arccot (2x)}\) przy czym oś pionowa to oś \(\displaystyle{ y}\), a pozioma - \(\displaystyle{ x}\), orientację osi wyznaczają strzałki.

Całka przybierze więc postać

\(\displaystyle{ P = \int_{0}^{0.5} \arccot(2x) \mbox{d}x}\) .

buszujacy · Post autor: **buszujacy** » 26 cze 2011, o 17:58

czyli kiedy jest taka funkcja ograniczona osią OX to nic nie zmienia i mamy całkę takiej funkcji jak wykres w danym przedziale...dobrze rozumiem?

Post autor: **loitzl9006** » 26 cze 2011, o 18:14

Mamy dwie funkcje: arcus cotangens to jedna, a druga to \(\displaystyle{ y=0}\) (oś \(\displaystyle{ OX}\)). Akurat się złożyło, że arcus cotangens leży wyżej w całym przedziale \(\displaystyle{ (0;0.5)}\) niż \(\displaystyle{ y=0}\) i dlatego ten wzór tak wygląda:

\(\displaystyle{ P = \int_{0}^{0.5} \left( \arccot(2x) -0\right) \mbox{d}x}\)

To wynika z własności całki oznaczonej.

buszujacy · Post autor: **buszujacy** » 26 cze 2011, o 18:36

no dobra chyba już rozumiem ale tak dla pewności to w takim razie jak może wyglądać całka jeśli będę miał na przykład \(\displaystyle{ \arctan\left( x\right)}\) lekko przesuniętego w prawo tak że w przedziale <0;0,5> będzie na + i - i do tego będzie ograniczony osią OX?

pozdrawiam

Post autor: **loitzl9006** » 26 cze 2011, o 18:43

dla przedziału \(\displaystyle{ (0,0.5)}\)

będzie podobnie \(\displaystyle{ \int_{0}^{0.5}\left( \arctan(x)-0\right) \mbox{d}x}\)

ale np. dla przedziału \(\displaystyle{ (-1,-0.5)}\)

będzie już \(\displaystyle{ \int_{-1}^{-0.5}\left( 0 - \arctan(x)\right) \mbox{d}x}\) bo \(\displaystyle{ y=0}\) jest wyżej w tym przypadku niż arcus tangens.