Czy element jest elementem nierozkładalnym pierścienia?

[elomelo320]

czy 9i\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) należy do Z\(\displaystyle{ \left[ i \sqrt{2} \right]}\) jest elementem nierozkładalnym pierścienia Z\(\displaystyle{ \left[ i \sqrt{2} \right]}\) .Jeśli nie zaleźć jego dzielniki i rozkład na elementy nierozkładalne.

[Natasha]

Szukamy \(\displaystyle{ x=a+bi \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y=c+di\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ x,y \in Z\left[ i\sqrt{2}\right]}\), \(\displaystyle{ x,y}\) nie są elementami odwracalnymi w \(\displaystyle{ Z\left[ i\sqrt{2}\right]}\), czyli ani \(\displaystyle{ 1}\), ani \(\displaystyle{ -1}\), takich, że \(\displaystyle{ x\cdot y=9i\sqrt{2}}\), czyli
\(\displaystyle{ (a+bi \sqrt{2})(c+di \sqrt{2})=9i\sqrt{2}}\)

Podnosimy moduły do kwadratu i wychodzi: \(\displaystyle{ (a ^{2}+2b ^{2})(c ^{2}+2d ^{2})=162}\)
Szukamy dzielników naturalnych liczby \(\displaystyle{ 162}\) i po kolei rozpatrujemy przypadki dla każdego z nich. Czyli innymi słowy szukamy dzielników liczby \(\displaystyle{ 9i\sqrt{2}}\), które nie są elementami odwracalnymi w podanym pierścieniu. Jeśli \(\displaystyle{ 9i\sqrt{2}}\) da się zapisać jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych, to jest elementem rozkładalnym, w przeciwnym wypadku nie.-- 26 czerwca 2011, 16:37 --PS \(\displaystyle{ a,b,c,d \in Z}\).

[elomelo320]

Dziękuję ślicznie;)!