całka powierzchniowa zorientowana

[kuba746]

Mam całkę np. \(\displaystyle{ \int \int_S xdydz+ydxdz+zdxdy}\) gdzie S jest wewnętrzną stroną półsfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=R^2, z \le 0}\)
Parametryzuję wg. współrzędnych sferycznych. I jak mam poznać czy dana parametryzacja jest zgodna?

[luka52]

Można zauważyć, że \(\displaystyle{ (x,y,z) = \vec{r}}\) i w każdym punkcie półsfery wektor tego pola jest prostopadły do powierzchni (antyrównoległy do wektora normalnego), po której całkujemy, a dodatkowo stały. Stąd:

\(\displaystyle{ \iint_{S^-} (x,y,z) \cdot \mbox d \vec{s} = R \iint_{S^-} (-1) \mbox d s = R \cdot (-1) \cdot 2 \pi R^2}\)

[kuba746]

dzięki, czyli w ogólnym przypadku gdy mamy \(\displaystyle{ \int \int_S \vec{F} \cdot d\vec{s}}\) to jest ona równa \(\displaystyle{ \pm \int \int_D \vec{F}(\vec{r}(u,v))\cdot (\vec{r}_u \times \vec{r}_v) dudv}\) w zależności czy pole F jest skierowane od strony zewnętrznej (wewnętrznej)?

[luka52]

Znak \(\displaystyle{ \pm}\) bierze się stąd czy pole \(\displaystyle{ \vec{F}}\) jest skierowane zgodnie z normalną (a ten kierunek z kolei zależy od orientacji powierzchni) czy przeciwnie.

[kuba746]

właśnie o to mi chodziło. Wielkie dzięki