RR II rzędu, wzór na Ys

[adamss1936]

Cześć
Myślałem, że RR II już umiem :/

\(\displaystyle{ x^s \cdot e^{ \alpha x} (P_m(x) \cdot \cos \beta x + Q_m(x) \cdot \sin \beta x) \\
\text{gdzie} \ r= \alpha + \beta i \ \text{natomiast s jest krotnością r}}\)

\(\displaystyle{ y''+y=2 \sin{x}-\cos{x} \\
r_{1}=i \ r_{2}=-i \\
y_{o}=e^{0x}(C_{1}\sin{x}+C_{2}\cos{x})\\
\text{chciałem to rozdzielić na dwa Ys}\\
1: y''+y=2 \sin{x} \\
2: y''+y= \cos{x} \\

y_{s}=x^s \cdot e^{ \alpha x} (P_m(x) \cdot \cos \beta x + Q_m(x) \cdot \sin \beta x) \\
r= \alpha + \beta i = i \\
\text{w związku z tym} \\
y_{s1}=x(sin{x}+cos{x}) \ \test{tak?} \\
y_{s2}=x(sin{x}+cos{x}) \ ?}\)

Dziękuje

[Lorek]

Jakaś dziwna ta metoda... rozdzielenie niepotrzebne, ale i tak wyjdzie co trzeba.
\(\displaystyle{ y''+y=2\sin x-\cos x\to y_s=ax\sin x+bx\cos x}\)

[adamss1936]

Standardowo nie załapałem

1. czyli tą krotność dobrze sobie interpretuje ? s=1 ?
2.

ale i tak wyjdzie co trzeba.

czyli dobrze to zrobiłem ?
3. i ostatnie pytanie skąd u Ciebie to a i b ?

[Lorek]

To \(\displaystyle{ s}\) to ogólnie jest krotność -1, ale że \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ 2\cos x}\), czyli to co po prawej stronie równania należy też do rozwiązania ogólnego to przewidywanie postaci \(\displaystyle{ a\sin x+b\cos x}\) nic nam nie da, bo się nam to wyzeruje, więc zwiększamy potęgę wielomianu.

Jak chcesz to możesz rozbić to na 2 przypadki, tyle, że więcej liczenia. A to \(\displaystyle{ a,b}\) jest stąd, że ty nie wiesz jak dokładnie będzie wyglądać rozwiązanie szczególne, tylko jakiej będzie postaci. A jak dokładnie będzie wyglądać przekonasz się wstawiając przewidywaną postać do równania i wyliczając \(\displaystyle{ a,b}\).

[adamss1936]

Ad.2 zrobiłem i wyszło
Ad.3 zwiesiłem sie z tym a i b - przypominało mi wielomian, ja oznaczam C1 C2 juz wsyszko gra

tylko teraz z tym \(\displaystyle{ s}\):
" To to ogólnie jest krotność -1 " - ?

Ostatnie pytanie(mam nadziej):
..bo ja pisałem cały czas:
\(\displaystyle{ x^s \cdot e^{ \alpha x} (P_m(x) \cdot \cos \beta x + Q_m(x) \cdot \sin \beta x)\\
\text{gdzie} \ r= \alpha + \beta i \ \text{natomiast s jest krotnością r}}\)
moje \(\displaystyle{ \alpha \ \beta}\) biorę z tego co mam po prawej stronie równiania ?
bo ja chyba cały czas brałem z pierwiastków \(\displaystyle{ r_{1} \ r_{2}}\) gdy były zespolone a jak nie dawałem 0. Mam to brać z tego co po prawej stronie, prawda ?

Dzięki wielkie !

[Lorek]

yy? Masz równanie postaci \(\displaystyle{ y''(x)+Ay'(x)+By(x)=f(x)}\). No to równanie jednorodne jest postaci \(\displaystyle{ y''(x)+Ay'(x)+By(x)=0}\) i równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ r^2+Ar+B=0}\). I teraz jak oba pierwiastki są rzeczywiste różne to \(\displaystyle{ y_o=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}}\), jak oba pierwiastki są rzeczywiste równe to \(\displaystyle{ y_o=(C_1x+C_2)e^{rx}}\) a jak oba są zespolone to \(\displaystyle{ y=e^{\alpha x}(C_1\sin \beta x +C_2\cos \beta x)}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) tak jak wyżej. Przy uogólnieniu na wyższe rzędy pierwiastkowi \(\displaystyle{ r^*}\) o krotności \(\displaystyle{ s}\) odpowiada składnik \(\displaystyle{ e^{r^*x}\cdot W_{s-1}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ W_{s-1}}\) - dowolny wielomian stopnia \(\displaystyle{ {s-1}}\), a jak \(\displaystyle{ r^*}\) jest zespolony to \(\displaystyle{ e^{r^*x}}\) przechodzi w postać z sinusem i cosinusem. Z prawą stroną to nie ma nic wspólnego (no może prócz tego, że czasem może pasować).