czy mógłby mi jakiś dobry człowiek podpowiedzieć jak rozwiązać to równanie, gdyż sama próbuje od 2 godzin ale nie wychodzi tak jak powinno:)
\(\displaystyle{ y''-y= e^{-x} \sin e^{-x} + \cos e ^{-x}}\)
równanie różniczkowe II rzędu
równanie różniczkowe II rzędu
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 20:30 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
równanie różniczkowe II rzędu
Najpierw rozważmy równanie jednorodne \(\displaystyle{ y''-y=0}\) i odpowiadające mu równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ t^2-1=0}\). Pierwiastkami tego ostatniego są liczby \(\displaystyle{ -1, 1}\) i generują one dwa liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozwiązania \(\displaystyle{ \varphi_1(x)=e^{-x}, \varphi_2(x)=e^x}\) równania jednorodnego.
Wystarczy teraz wyznaczyć jedno dowolne rozwiązanie \(\displaystyle{ \varphi_0}\) wyjściowego równania (niejednorodnego). Można tu skorzystać z tzw. metody wariacji (uzmienniania) stałych.
Należy wówczas obliczyć następujące wyznaczniki (tzw. wrońskiany):
\(\displaystyle{ W(x)=\left|\begin{array}{cc} e^{-x} & e^x \\ -e^{-x} & e^x \end{array}\right|, W_1(x)=\left|\begin{array}{cc} 0 & e^x \\ e^{-x}\sin e^{-x}+\cos e^{-x} & e^x \end{array}\right|, W_2(x)=\left|\begin{array}{cc} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & e^{-x}\sin e^{-x}+\cos e^{-x} \end{array}\right|}\) (w odpowiednich kolumnach \(\displaystyle{ W}\) występują \(\displaystyle{ \varphi_1, \varphi_2}\) i ich pochodne, w \(\displaystyle{ W_1, W_2}\) zastąpiono jedną z kolumn kolumną zawierającą funkcję zerową i prawą stronę danego równania).
Teraz należy obliczyć całki nieoznaczone \(\displaystyle{ c_1(x)=\int\frac{W_1(x)}{W(x)}dx, c_2(x)=\int\frac{W_2(x)}{W(x)}dx}\) (stałe można pominąć).
Mamy \(\displaystyle{ \varphi(x)=c_1(x)\varphi_1(x)+c_2(x)\varphi_2(x)}\).
Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varPhi_{C_1, C_2}(x)=\varphi(x)+C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) są dowolnymi stałymi.
Wystarczy teraz wyznaczyć jedno dowolne rozwiązanie \(\displaystyle{ \varphi_0}\) wyjściowego równania (niejednorodnego). Można tu skorzystać z tzw. metody wariacji (uzmienniania) stałych.
Należy wówczas obliczyć następujące wyznaczniki (tzw. wrońskiany):
\(\displaystyle{ W(x)=\left|\begin{array}{cc} e^{-x} & e^x \\ -e^{-x} & e^x \end{array}\right|, W_1(x)=\left|\begin{array}{cc} 0 & e^x \\ e^{-x}\sin e^{-x}+\cos e^{-x} & e^x \end{array}\right|, W_2(x)=\left|\begin{array}{cc} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & e^{-x}\sin e^{-x}+\cos e^{-x} \end{array}\right|}\) (w odpowiednich kolumnach \(\displaystyle{ W}\) występują \(\displaystyle{ \varphi_1, \varphi_2}\) i ich pochodne, w \(\displaystyle{ W_1, W_2}\) zastąpiono jedną z kolumn kolumną zawierającą funkcję zerową i prawą stronę danego równania).
Teraz należy obliczyć całki nieoznaczone \(\displaystyle{ c_1(x)=\int\frac{W_1(x)}{W(x)}dx, c_2(x)=\int\frac{W_2(x)}{W(x)}dx}\) (stałe można pominąć).
Mamy \(\displaystyle{ \varphi(x)=c_1(x)\varphi_1(x)+c_2(x)\varphi_2(x)}\).
Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varPhi_{C_1, C_2}(x)=\varphi(x)+C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) są dowolnymi stałymi.
równanie różniczkowe II rzędu
Dziękuje za podpowiedź, już mi to trochę rozjaśniło sprawę, ale nie wiem za bardzo jak rozwiązać te całki. Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć chociaż jedną?