Relacja równoważności

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi »

Witam,
mam zadanie za które nie wiem jak się zabrać.
Proszę o ewentualne podpowiedzi lub rozwiązania.

Zadanie:
Dla zbiory\(\displaystyle{ X}\) oraz relacji \(\displaystyle{ R \subseteq X \times X}\) zbadać czy \(\displaystyle{ R}\) Jest relacją równoważności, jeżeli tak wskazać klasy abstrakcji.
Jeżeli relacja nie jest relacją równoważności rozstrzygnij, które własności ( zwrotna, przechodnia, symetryczna) relacja posiada, a które nie.
\(\displaystyle{ X}\)-zbiór liczb naturalnych, \(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow 2|x-y}\)

z góry dziękuję za odpowiedzi.
i jeszcze jedno pytanie jak to rozumieć i interpretować: \(\displaystyle{ R \subseteq X \times X}\)?

Pozdrawiam
miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 »

i jeszcze jedno pytanie jak to rozumieć i interpretować
Masz zwykłe zawieranie. Nie ma co tutaj interpretować.

Co to znaczy, że relacja jest zwrotna?
forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi »

miodzio1988 pisze:
i jeszcze jedno pytanie jak to rozumieć i interpretować
Masz zwykłe zawieranie. Nie ma co tutaj interpretować.

Co to znaczy, że relacja jest zwrotna?

No właśnie nie mogę tego zrozumieć ale wiem, że relacja zwrotna to relacja która zachodzi dla każdej pary postaci \(\displaystyle{ (x,x)}\)

dla większości to pytanie jest banalne ale nie moge tego sobie wbić do głowy żeby to zrozumieć, matematyka dyskretna niby bardzo prosta bo nie trzeba prawie nic liczyć ale jednak jak jej nie zrozumiesz do końca to nic nie zrobisz.
miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 »

Relacja jest zwrotna wtedy gdy każdy element jest sam ze sobą w relacji.

Czy u nas tak jest? Co to jest:

\(\displaystyle{ xRx}\) ?
forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi »

\(\displaystyle{ xRx}\) to znaczy: że istnieje takie x należące do A i wtedy x jest w relacji z x \(\displaystyle{ xRx}\)
Napisałem słowami bo nie wiem jak się tu używa tych kwantyfikatorów w sumie to ich nie widzę
miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 »

\(\displaystyle{ xRx \Leftrightarrow 2|x-x \Leftrightarrow}\)

Dokończ
forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi »

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ xRx \Leftrightarrow 2|x-x \Leftrightarrow}\)

Dokończ
\(\displaystyle{ 2|x-x \Rightarrow 2|0}\) to jest zwrotna
miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 »

No super. Resztę własnosci sprawdzasz tak samo
forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi »

miodzio1988 pisze:No super. Resztę własnosci sprawdzasz tak samo
To jeśli mówisz żebym sprawdził reszte tak samo tzn że ta relacja nie jest relacją równoważności i nie muszę wskazywać klasy abstrakcji?
A jak w tym przypadku sprawdzić czy jest relacją równoważności?
miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 »

A jak w tym przypadku sprawdzić czy jest relacją równoważności?
Sprawdź czy jest symetryczna i przechodnia jeszcze
forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi »

symetryczna:
\(\displaystyle{ 2|x-y}\)
\(\displaystyle{ 2|x-y \Leftrightarrow 2|y-x}\) jest symetryczna tylko wtedy kiedy x i y są liczbami parzystymi lub nieparzystymi

przechodnia:
\(\displaystyle{ 2|x-y}\)
\(\displaystyle{ \left( 2|x-y\right) \wedge \left( 2|y-z\right) \Leftrightarrow \left( 2|x-y + y-z\right) \Rightarrow \left( 2|x-z\right)}\)
Więc warunek :
\(\displaystyle{ \left( 2|x-y\right) \wedge \left( 2|y-z\right) \Rightarrow \left( 2|x-z\right)}\) jest spełniony
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Relacja równoważności

Post autor: xanowron »

No to jest to relacja równoważności. Teraz klasy abstrakcji wyznacz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Relacja równoważności

Post autor: Jan Kraszewski »

forestdmi pisze:\(\displaystyle{ \left( 2|x-y\right) \wedge \left( 2|y-z\right) \Leftrightarrow \left( 2|x-y + y-z\right)}\)
Drobna uwaga: tu nie ma równoważności, tylko wynikanie.

Sprawdź dla \(\displaystyle{ x=z=1, y=0}\).

JK
ODPOWIEDZ