Macierz odwzorowania w nowych bazach.

[bllaga]

Mam takie zadanie:
Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:R ^{2} \rightarrow R ^{3}}\) w bazach \(\displaystyle{ \left\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ (1,1), (0,1)\right\}}\) ma macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\\0&1\end{array}\right]}\) Wyznacz macierz tego odwzorowania w bazach: \(\displaystyle{ \left\{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)\right\}}\)i \(\displaystyle{ \left\{(1,0), (0,1)\right\}}\)
Tutaj chyba trzeba skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ B=P ^{-1} \cdot A \cdot P}\) ale nie mogę poradzić sobie z macierzą przejścia przy takich bazach.
Może mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak się za to zabrać.

Tak się zastanawiam czy mogę napisać że wzór tego odwzorowania jest \(\displaystyle{ f(x,y)=(y,x,x-y)}\)? No i dalej by jakoś poszło ale nie jestem pewna czy tak można.-- 25 cze 2011, o 19:28 --Pomocy!

[Kamil_B]

Wzór tego odwzorowanie to \(\displaystyle{ f(x,y)=(x+y,x,y)}\)
(Wystarczy bowiem policzyć \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\\0&1\end{array}\right] \cdot [x,y]^{T}}\)).

Jeśli chodzi natomiast o macierze przejścia to chyba przyda się nieco ogólniejszy fakt, a mianowicie:
Jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest przekształceniem liniowym \(\displaystyle{ \varphi : V \rightarrow W}\), gdzie:
\(\displaystyle{ V,W}\)-przestrzenie liniowe na pewnym ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) ,\(\displaystyle{ A,C}\)-bazy \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ B,D}\)-bazy \(\displaystyle{ W}\) to wówczas zachodzi:

\(\displaystyle{ M_{C}^{D}=P_{B}^{D} \cdot M_{B}^{A} \cdot P_{C}^{A}}\)

gdzie \(\displaystyle{ M}\) to oczywiście macierze tego przekształcenia w odpowiednich bazach a \(\displaystyle{ P}\) macierze przejścia z odpowiednich baz.

[bllaga]

Wydaje mi się że to nie jest poprawne rozwiązanie. Wg zadania i macierzy powinno zachodzić
\(\displaystyle{ f(1,1)=1 \cdot (1,0,0)+1 \cdot (0,1,0)+0 \cdot (0,0,1)=(1,1,0)}\)
A wg Twojego wzoru \(\displaystyle{ f(1,1)=(2,1,1)}\)
Chyba że coś pomyliłam.

[Kamil_B]

Słusznie- źle spojrzałem i myślałem że tam bazą \(\displaystyle{ R^2}\) jest baza standardowa czyli \(\displaystyle{ \{ (1,0),(0,1)\}}\).
Odnośnie Twojego wzoru to tam powinno być chyba \(\displaystyle{ f(x,y)=(y,x,y-x)}\).

[rybka0805]

A ja bym to rozwiązała tak: \(\displaystyle{ f(x,y)= (y,x, y-z)}\) musiałaś sobie coś źle pododawać i potem \(\displaystyle{ f(1,0)= (0,1,-1)= -(1,1,1)+2(1,1,0)-(1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(0,1)=(1,0,1)=(1,1,1)-(1,1,0)+(1,0,0)}\)
no i już jest macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&1\\2&-1\\-1&1\end{array}\right]}\)
no albo \(\displaystyle{ f(1,0)=f((1,1)-(0,1)=f(1,1)-f(0,1)=(1,1,0)-(1,0,1)=(0,1,-1)}\) i reszta jak wyżej. Nie dam sobie reki uciąć, że to jest dobrze, ale na moje oko powinno być ok.

[Kamil_B]

Jest w porządku
Podałęm jednak wcześniej wzór z odpwiednimi macierzami przejścia, bo nie zawsze można/nie każdy potrafi sprawnie zapisywać współrzędne wektora w nowej bazie tzn. chodzi mi np.o równość \(\displaystyle{ (0,1,-1)= -(1,1,1)+2(1,1,0)-(1,0,0)}\)

[bllaga]

Super, bardzo dziękuję za pomoc. Nie wiedziałam czy mogę tak z głowy podać wzór bez obliczeń. Tylko jeśli się mogę przyczepić, to w Twoim wzorze zamiast "z" ma być "y".

[rybka0805]

taak, wczoraj już mi się dymiło z głowy od tej algebry, także wzór ma wyglądać tak: \(\displaystyle{ f(x,y)= (y, x, y-x)}\), sorry za błąd:)

[laser15]

skąd wziął się ten wzór funkcji ?-- 8 sty 2013, o 21:59 --Oraz z czego wynika taki sposób rozwiązania tego zadania ? Czemu bierzemy wektory z drugiej bazy ?