Zbadaj monotoniczność funkcji, oblicz granice, asymptoty

[epsilon]

Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności obliczeń następujących zadań:

1. Zbadaj monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{-n ^{2}-4n+5 }{2n ^{2}-1 }}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{-(n+1) ^{2}-4(n+1)+5}{2(n+1)^{2}-1}= \frac{-(n ^{2}+2n+1)-4n-4+5}{2(n ^{2}+2n+1)-1 } = \frac{-n ^{2}-2n-1-4n-4+5}{2n ^{2}+4n+2-1 } = \frac{-n ^{2}-6n }{2n ^{2}+4n+1 }}\)


\(\displaystyle{ a _{n+1} -a _{n} = \frac{-n ^{2}-6n }{2n ^{2}+4n+1 }- \frac{-n ^{2}-4n+5 }{2n ^{2}-1 }= \frac{(-n ^{2}-6n)(2n ^{2}-1)-(-n ^{2}-4n+5)(2n ^{2}+4n+1)}{(2n ^{2}-1)(2n ^{2}+4n+1)} =\\ \frac{-2n ^{4}+n ^{2}-12n ^{3} +6n+2n ^{4}+4n ^{3}+n ^{2}+8n^{3}+16n ^{2}+4n-10n ^ {2}-20n-5}{4n ^{4}+8n ^{3}+2n ^{2} -2n ^{2}-4n-1} = \frac{8n ^{2}-10n-5 }{4n ^{2}+8n ^{3}-4n-1} > 0}\)

ciąg jest rosnący


2. Oblicz granicę ciągu i funkcji

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }( \frac{n ^{2}-5 }{n ^{2}+5 } ) ^{2n ^{2}+1 } = \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n ^{2}+5-10 }{n ^{2}+5 } ) ^{2n ^{2}+1 } = \lim_{n \to \infty }(((1- \frac{1}{ \frac{n ^{2}+5}{10} }) ^{ \frac{n ^{2}+5 }{10} }) ^{ \frac{10}{n ^{2}+5} }) ^{2n ^{2}+1 }= (\frac{1}{e}) ^{20}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }( \sqrt{x ^{2}+1 }- \sqrt{x ^{2} -1})= \lim_{x \to \infty } \frac{( \sqrt{x ^{2}+1 } ) ^{2}-( \sqrt{x ^{2}-1 } ) ^{2} }{ \sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 } } = \lim_{ x\to \infty } \frac{x ^{2}+1-x ^{2}-1 }{ \sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 } } = \lim_{ x\to \infty } \frac{0}{ \sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 } } = 0}\)


3. Wyznacz asymptoty funkcji


\(\displaystyle{ f(x) = \frac{2x ^{2}+1 }{-x ^{2} +2x+3}}\)

\(\displaystyle{ Df \in R \setminus {-1,3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1 ^{-} } \frac{2x ^{2}+1 }{-x ^{2} +2x+3} = \frac{3}{0} = - \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1 ^{+} } \frac{2x ^{2}+1 }{-x ^{2} +2x+3} = \frac{3}{0} = + \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3 ^{-} }\frac{2x ^{2}+1 }{-x ^{2} +2x+3} = \frac{19}{0} = - \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3 ^{+} }\frac{2x ^{2}+1 }{-x ^{2} +2x+3} = \frac{19}{0} = + \infty}\)

funkcja posiada asymptoty pionowe obustronne \(\displaystyle{ x=-1 \ i \ x=3}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } \frac{2x ^{2}+1 }{x(-x ^{2} +2x+3)} = 0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to+ \infty } \frac{2x ^{2}+1 }{x(-x ^{2} +2x+3)} = 0}\)

Ponieważ wartość \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-+ \infty } \frac{f(x)}{x} = 0}\) to funkcja nie posiada asymptot ukośnych, tylko asymptoty poziome.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } \frac{2x ^{2}+1 }{-x ^{2} +2x+3} = 2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to+ \infty } \frac{2x ^{2}+1 }{-x ^{2} +2x+3} = 2}\)

Funkcja posiada asymptoty poziome obustronne \(\displaystyle{ y=2}\),

[Hausa]

w drugim punkcie, drugi przykład masz błąd, nie zmieniłeś znaku przy odejmowaniu.
w 1 zadaniu masz błąd, chyba wygodniej można by to policzyć z pochodnej, bo:
\(\displaystyle{ a_1=0}\)

\(\displaystyle{ a_2=-1}\)
Czyli ciąg nie jest cały czas rosnący.

[wszamol]

W pierwszym ciąg jest rosnący dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
W drugim granice z \(\displaystyle{ e}\) ma dobry wynik, ale zjadłaś minus w zapisie.
w trzecim asymptota pozioma to \(\displaystyle{ y=-2}\)

EDIT
jeszcze w trzecim granice w trójce są źle policzone (odwrotnie znaki powinny być).

[epsilon]

w drugim punkcie, drugi przykład masz błąd, nie zmieniłeś znaku przy odejmowaniu.

Czyli w liczniku powinno być tak??:)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2}{ \sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 } } = 0}\)

W drugim granice z e ma dobry wynik, ale zjadłaś minus w zapisie.

Czy to chodzi o minus przy liczbie 10 w mianowniku?:)

[wszamol]

Czy to chodzi o minus przy liczbie 10 w mianowniku?:)

Wszystko gra, ja się pomyliłem.

[Hausa]

Licznik jest w porządku, tylko musisz jeszcze te pierwiastki z mianownika usunąć.

[wszamol]

Hausa, coś źle podpowiadasz, ma być \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2}{ \sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 } } = 0}\)

[epsilon]

W pierwszym ciąg jest rosnący dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)

czyli wystarczy tylko napisać, że dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) ciąg jest rosnący, a dla \(\displaystyle{ n < 2}\) ciąg jest malejący.

Dziękuje Wam bardzo za pomoc i wychwycenie moich głupich błędów

[Hausa]

Wynik OK tylko myślałam że epsilon tylko przepisała to co było wczesniej razem z wynikiem