zbieżność jednostajna i punktowa - szereg z cosinusem

[owen1011]

Niech b > 0. Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{cos n \pi }{ \sqrt[3]{n ^{3} + nx^2 -nb } }}\)

gdy\(\displaystyle{ x in [−b, + infty ).}\) Określ charakter zbieżności punktowej.

no to ograniczam (wiekszym badz rownym) z weierstrassa

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{n^3} }}\)

ale to jest rozbiezne, czy

czy jest jakies ograniczenie na zbieznosc tego ?

[Dasio11]

Można skorzystać z kryterium Dirichleta, jeśli tylko pokazać, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{ \cos n\pi}{\sqrt[3]{n^2+x^2-b}} = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n^2+x^2-b}}}\) jest jednostajnie ograniczone na podanym zbiorze (oraz że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{n}}}\) maleje do zera, ale to oczywiste).

[owen1011]

nie bardzo rozumie, jak ograniczymy przez \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{n} }}\) to przeciez to ograniczenie jest rozbiezne

[Dasio11]

Nie ograniczamy przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{n}}.}\) Stosujemy kryterium Dirichleta:

kryterium Dirichleta:    

Szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n f_n(x)}\)

jest jednostajnie zbieżny w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{A},}\) jeśli współczynniki \(\displaystyle{ a_n}\) są liczbami dodatnimi malejącymi do zera, a ciąg

\(\displaystyle{ s_n(x) = f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)}\)

jest jednostajnie ograniczony w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{A}.}\)

Można więc wziąć

\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}}\) (istotnie, ciąg o wyrazach dodatnich, malejących do zera)

oraz

\(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n^2+x^2-b}}}\)

i wtedy dowiedziemy jednostajnej zbieżności szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n f_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}} \cdot \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n^2+x^2-b}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n^3+nx^2-bn}},}\)

na zbiorze \(\displaystyle{ mathbb{A}= left[b, infty
ight),}\) o ile uda się pokazać, że ciąg sum częściowych

\(\displaystyle{ s_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+x^2-b}}}\)

jest jednostajnie ograniczony na tym zbiorze.