Rowniania stycznych do wykresu

[2.72lo]

Podaj równania tych wszystkich stycznych do wykresu:

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =\ln \left( x^{2}+ e^{-x} \right)}\)

które są równoległe do prostej:

\(\displaystyle{ y=5-x}\)

Prosze o pomoc !

[pyzol]

Policz najpierw pochodną.

[2.72lo]

\(\displaystyle{ f\left( x\right) '= \frac{1}{ x^{2} + e^{-x} } \cdot \left( x^{2}+ e^{-x} \right) '= \frac{2x}{ x^{2}+ e^{-x} }- \frac{ e^{-x} }{ x^{2} + e^{-x} }}\)

Dobrze?

[pyzol]

tak, teraz:
\(\displaystyle{ f'(x_0)}\) to tangens kąta nachylenia stycznej. W naszym przypadku styczna jest równoległa do prostej:
\(\displaystyle{ y=-x+5}\). Więc tangens ma być równy \(\displaystyle{ -1}\).
Rozwiązujesz równanie:
\(\displaystyle{ f'(x)=-1}\)

[2.72lo]

\(\displaystyle{ \frac{2x}{ x^{2} + e^{-x} } - \frac{ e^{-x} }{ x^{2} + e^{-x}} =-1 \\
2x - e^{-x} = - x^{2} - e^{-x} \\
x^{2} + 2x = 0 \\
x\left( x+2\right) =0 \\
\\
x_{1} = 0 \ \vee \ x_{2}=-2\\
f\left( x_{0} \right) =2 x_{0} +b \\
-1=2 \cdot 0 +b \ \vee \ -1=2 \cdot \left( -2\right) +b \\
b=-1 \ \vee \ b=3 \\
y=-1-x \ \vee \ y=3-x}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ f\left( x_{0} \right) =2 x_{0} +b \\
-1=2 \cdot 0 +b \ \vee \ -1=2 \cdot \left( -2\right) +b \\
b=-1 \ \vee \ b=3 \\
y=-1-x \ \vee \ y=3-x}\)

Skąd równanie \(\displaystyle{ f \left( x_0 \right) = 2x_0 + b?}\)
Poza tym, pomiędzy równaniami wyznaczonych prostych nie powinien się znajdować znak \(\displaystyle{ \vee .}\) Można go użyć, gdy polecenie brzmi:
"Pewien \(\displaystyle{ x}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x(x+2)=0.}\) Jaki to może być \(\displaystyle{ x?}\)"
Wtedy istotnie \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=-2.}\)
Tutaj zadanie polega na wyznaczeniu wszystkich takich prostych, więc nie mamy tu do czynienia z alternatywą, tylko z dwoma niezależnymi rozwiązaniami - spośród których należy wyznaczyć wszystkie.