Granica funkcji

[klaudiar]

Czy mógłby mu ktoś pomóc przy rozwiązaniu takiej granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \frac{1}{x} \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x} \right) =}\)

doszłam do:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x} \right) = \frac{ \sqrt{x} }{x} + \frac{1}{x ^{2} }= \frac{x \sqrt{x} }{x ^{2} } + \frac{1}{x ^{2} } = \frac{x \sqrt{x} + 1}{ x^{2} } = \frac{ \sqrt{x} + 1}{ x }}\)

...i utknęłam.. nie wiem co dalej mam zrobic..

[piasek101]

Mogłaś mniej przekształcać; ale skróć Twoje ostatnie przez (x).

[Lbubsazob]

Masz \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\), więc możesz też zastosować regułę de l'Hospitala.

[klaudiar]

Mniej przekształcać? czyli na jakim etapie powinnam poprzestać?:)

i nie rozumiem co mam skrócić..

[piasek101]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x} \right) = \frac{ \sqrt{x} }{x} + \frac{1}{x ^{2} }= \frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{x^2}}\)

A skracać Twoje ostatnie - bo już się napracowałaś.

[klaudiar]

Ok - zastosowałam regułę de l'hospitala i granica wyszła mi 0?

\(\displaystyle{ \frac{ (\sqrt{x} + 1)' }{(x)' }= \frac{1}{2 \sqrt{x} } =0}\)

Czy to jest dobrze..?

[Lbubsazob]

Tak, granica powinna wyjść \(\displaystyle{ 0}\).

[piasek101]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x} \right) = \frac{ \sqrt{x} }{x} + \frac{1}{x ^{2} }= \frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{x^2}}\)

A bez ,,szpitala" :
\(\displaystyle{ = \lim_{ x\to +\infty}\left( \frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{x^2}\right)=0+0=0}\)