wykaż albo obal:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1}{ {n \choose k} k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2 k}{ k{n \choose k} }}\)
suma odwrotności symbolu newtona, równość
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
suma odwrotności symbolu newtona, równość
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1}{ {n \choose k} k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{2 k}{ k{n \choose k} }=
\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n \choose k} k}=
\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2(n+1-k)}{ {n-1 \choose (n+1-k)-1} n}\right)= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1-n}{ {n-1 \choose n-k} n}\right)= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1-n}{ {n-1 \choose k-1} n}\right)=0}\)
Q.
\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n \choose k} k}=
\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2(n+1-k)}{ {n-1 \choose (n+1-k)-1} n}\right)= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1-n}{ {n-1 \choose n-k} n}\right)= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1-n}{ {n-1 \choose k-1} n}\right)=0}\)
Q.