Minimum funkcji

matemix · Post autor: **matemix** » 23 cze 2011, o 21:16

Niech \(\displaystyle{ f(x,y,z)=ax+by+cz}\). a, b i c są dodatnie oraz \(\displaystyle{ xyz=1}\). Dziedzina funkcji to \(\displaystyle{ x>0,\ y>0,\ z>0}\). Ile wynosi najmniejsza wartość tej funkcji?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 cze 2011, o 21:43

\(\displaystyle{ \frac{ax+by+cz}{3}\ge \sqrt[3]{axbycz}=\sqrt[3]{abc}}\)

matemix · Post autor: **matemix** » 23 cze 2011, o 22:25

A ile wyniesie maksimum?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 cze 2011, o 22:29

Z góry to ona w zasadzie nie jest ograniczona.

matemix · Post autor: **matemix** » 23 cze 2011, o 23:01

Przy tych założeniach faktycznie nie. Ale gdyby dodatkowo np. \(\displaystyle{ a<2}\), \(\displaystyle{ b<1}\), \(\displaystyle{ c<1}\).

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 cze 2011, o 23:03

\(\displaystyle{ a,b,c}\) są tu stałe i nie wpływają na nieograniczoność (o ile tylko przynajmniej jedna z nich jest większa od 0).

matemix · Post autor: **matemix** » 23 cze 2011, o 23:13

No tak, to x, y i z powinny być ograniczone. Czyli zał., że \(\displaystyle{ x<3}\), \(\displaystyle{ y<1}\), \(\displaystyle{ z<1}\).

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 cze 2011, o 23:37

Maksimum możesz nie wyznaczyć, bo działasz w zbiorze otwartym, co najwyżej ograniczenie. Jakbyś miał np. \(\displaystyle{ 0\le x\le 3,\ 0\le y\le 1, \ 0\le z\le 1}\) to wtedy maksimum z pewnością jest, ale pewnie gdzieś na brzegu. Właściwie to w każdym zbiorze otwartym nie ma maksimum, bo odpowiednie wyznaczniki zawsze wychodzą dodatnie.