Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
matemix
Użytkownik
Posty: 465 Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: matemix » 23 cze 2011, o 21:16
Niech \(\displaystyle{ f(x,y,z)=ax+by+cz}\) . a, b i c są dodatnie oraz \(\displaystyle{ xyz=1}\) . Dziedzina funkcji to \(\displaystyle{ x>0,\ y>0,\ z>0}\) . Ile wynosi najmniejsza wartość tej funkcji?
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 21:23 przez
Chromosom , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: klamry [latex] [/latex]
Lorek
Użytkownik
Posty: 7150 Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy
Post
autor: Lorek » 23 cze 2011, o 21:43
\(\displaystyle{ \frac{ax+by+cz}{3}\ge \sqrt[3]{axbycz}=\sqrt[3]{abc}}\)
matemix
Użytkownik
Posty: 465 Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: matemix » 23 cze 2011, o 22:25
A ile wyniesie maksimum?
Lorek
Użytkownik
Posty: 7150 Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy
Post
autor: Lorek » 23 cze 2011, o 22:29
Z góry to ona w zasadzie nie jest ograniczona.
matemix
Użytkownik
Posty: 465 Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: matemix » 23 cze 2011, o 23:01
Przy tych założeniach faktycznie nie. Ale gdyby dodatkowo np. \(\displaystyle{ a<2}\) , \(\displaystyle{ b<1}\) , \(\displaystyle{ c<1}\) .
Lorek
Użytkownik
Posty: 7150 Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy
Post
autor: Lorek » 23 cze 2011, o 23:03
\(\displaystyle{ a,b,c}\) są tu stałe i nie wpływają na nieograniczoność (o ile tylko przynajmniej jedna z nich jest większa od 0).
matemix
Użytkownik
Posty: 465 Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: matemix » 23 cze 2011, o 23:13
No tak, to x, y i z powinny być ograniczone. Czyli zał., że \(\displaystyle{ x<3}\) , \(\displaystyle{ y<1}\) , \(\displaystyle{ z<1}\) .
Lorek
Użytkownik
Posty: 7150 Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy
Post
autor: Lorek » 23 cze 2011, o 23:37
Maksimum możesz nie wyznaczyć, bo działasz w zbiorze otwartym, co najwyżej ograniczenie. Jakbyś miał np. \(\displaystyle{ 0\le x\le 3,\ 0\le y\le 1, \ 0\le z\le 1}\) to wtedy maksimum z pewnością jest, ale pewnie gdzieś na brzegu. Właściwie to w każdym zbiorze otwartym nie ma maksimum, bo odpowiednie wyznaczniki zawsze wychodzą dodatnie.