znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

[kamiolka28]

Znajdź liczbę \(\displaystyle{ c}\), dla której granica ciągu o wyrazie ogólnym

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 3^{n+c} - 2^{n} }{ \sqrt{ 5^{n} + 9^{n-2c} } }}\)

jest równa \(\displaystyle{ 2}\).

[piasek101]

Skrócić przez \(\displaystyle{ 3^n}\).

[Waq]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n+c}-2^n}{ \sqrt{5^n+9^{n-2c}} }= \frac{3^n \cdot 3^c-2^n}{ \sqrt{5^n+9^n \cdot 9^{-2c}} }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n}) }{ \sqrt{9^n( \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}) } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{ \sqrt{9^n} \cdot \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c} } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{3^n \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}} }= \frac{3^c- (\frac{2}{3})^n }{ \sqrt{ (\frac{5}{9})^n+9^{-2c} } }}\)
Dalej eliminujesz wyrazy dążące do zera, a jak otrzymasz równanie to pokombinuj.

[kamiolka28]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n+c}-2^n}{ \sqrt{5^n+9^{n-2c}} }= \frac{3^n \cdot 3^c-2^n}{ \sqrt{5^n+9^n \cdot 9^{-2c}} }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n}) }{ \sqrt{9^n( \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}) } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{ \sqrt{9^n} \cdot \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c} } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{3^n \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}} }= \frac{3^c- (\frac{2}{3})^n }{ \sqrt{ (\frac{5}{9})^n+9^{-2c} } }}\)
Dalej eliminujesz wyrazy dążące do zera, a jak otrzymasz równanie to pokombinuj.

jeżeli ja odrzucę tutaj ułamki dążące do 0
to zostanie mi:
\(\displaystyle{ \frac{3 ^{c} }{ \sqrt{9 ^{-2c} } } = 3 ^{3c}}\) jeżeli dobrze policzyłam. no ale jak ma to do 2 zmierzać??

[Dasio11]

\(\displaystyle{ 3^{3c}}\) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ a_n.}\) W takim razie,

\(\displaystyle{ a_n \to 2 \Leftrightarrow 3^{3c} = 2}\)

[kamiolka28]

\(\displaystyle{ 3^{3c}}\) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ a_n.}\) W takim razie,

\(\displaystyle{ a_n \to 2 \Leftrightarrow 3^{3c} = 2}\)

tak to wiem.
ale nie mam pojęcia jak z tego to C wyznaczyć;/

[Dasio11]

No, normalnie. :]

\(\displaystyle{ 3^{3c}=2 \\
3c = \log_3 2 \\ \\
c= \frac{\log_3 2}{3}}\)