Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

[miki999]

Dziwne, że nikt się nie czepił:

Ciąg zmierza do pewnej liczby g (którą nazywamy granicą tego ciągu), gdy od pewnego miejsca odległość wyrazów tego ciągu od liczby g jest mniejsza od dowolnie małej liczby, większej od zera.

i w sumie w kolejnym poście też kolejność nie do końca dobra.

Ciąg ograniczony powinien być zbiorem.

A nie jest?

Zbiorem powinny być liczby [3,2] . Jednak tak nie jest i wyrazy wychodzą dalej (50 wyraz = 2,02).
Jak to zinterpretować ?

\(\displaystyle{ [3,2]}\)- masz na myśli przedział?. Zresztą ciężko domyślić się o co Ci chodzi.

Ciąg \(\displaystyle{ a_n= \frac{2n+1}{n}}\) jest ograniczony np. przez liczby \(\displaystyle{ 0}\) (od dołu) i \(\displaystyle{ 500}\) (od góry). Liczby wziąłem przykładowe, nie zawsze trzeba się powoływać na wartości graniczne, ważne że takowe liczby istnieją.

Czy kolejne wartości ciągu są nieco poniżej danej wartości czy też powyżej nie ma znaczenia, ponieważ i tak w definicji masz wartość bezwzględną. Fajnie obrazuje to pokazany przykład \(\displaystyle{ a_n= \frac{(-1)^n}{n}}\) albo \(\displaystyle{ \frac{\sin n}{n}}\).

Nie wiem, czy rozjaśniłem którąkolwiek wątpliwość.


Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Opierając się o
Ciąg ograniczony powinien być zbiorem.

Co masz na myśli?

JK

[vitar]

Ok to już nie ważne, teraz mam ważniejsze pytanie dotyczące liczenia.
Przeglądałem zadania i wykryłem schemat liczenia lim"ów - granic ciągów.

Czy (zawsze) chodzi o to aby wyciągać największą potęgę przed nawias i dzielić wszystkie składniki (z nawiasu) przez tą najwyższą potęgę ?

Kiedy pojawia się stała Eulera ?

[wszamol]

miki999 nie podawałem ścisłej definicji, była prośba by wyjaśnić łopatologicznie.

[miki999]

miki999 nie podawałem ścisłej definicji, była prośba by wyjaśnić łopatologicznie.

Mi nie chodziło o to, że nie pisałeś tego za pomocą znaczków, tylko że kwantyfikatory zamieniłeś w swojej wypowiedzi.
Przykładowo \(\displaystyle{ 0}\) nie spełnia napisanej przez Ciebie definicji granicy dla ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).

Czy (zawsze) chodzi o to aby wyciągać największą potęgę przed nawias i dzielić wszystkie składniki (z nawiasu) przez tą najwyższą potęgę ?

Nie zawsze, ale w prostych przykładach najczęściej się do tego sprowadza.

Kiedy pojawia się stała Eulera ?

Na ogół wtedy, gdy pojawia się symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 1^\infty}\). Z czasem będziesz intuicyjnie rozpoznawał takie przykłady.

[Jan Kraszewski]

Czy (zawsze) chodzi o to aby wyciągać największą potęgę przed nawias i dzielić wszystkie składniki (z nawiasu) przez tą najwyższą potęgę ?

Nie zawsze, ale w prostych przykładach najczęściej się do tego sprowadza.

Dokładniej: przy wyrażeniach wymiernych (i podobnych do nich).

JK

[Dasio11]

Kiedy pojawia się stała Eulera ?

BTW, stałą Eulera nazywa się granicę poniższego ciągu:

\(\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) - \ln n.}\)

Wam zaś prawdopodobnie chodzi o liczbę Eulera:

\(\displaystyle{ e= \lim_{n\to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n}\)

[Rogal]

Nawias zamykający trochę nie w tym miejscu.

[Dasio11]

Dlaczego? W tym momencie wiadomo, że \(\displaystyle{ \ln}\) jest nie pod sumą. To, że jest pod granicą, widać po zmiennej \(\displaystyle{ n.}\)

[Jan Kraszewski]

Rogal ma rację, ten zapis, niezależnie od tego, że można się domyślić, o co chodzi, jest niepoprawny. To, że "widać" nie świadczy niestety o formalnej poprawności.

JK

[Dasio11]

Naprawdę? Takie powielanie nawiasów wg mnie zawsze zmniejszało czytelność...
No ale nie będę się kłócił z Janem Kraszewskim. 0.0

[Jan Kraszewski]

Czy ja wiem? Dla mnie brak nawiasów w tym przypadku zmniejszył czytelność. A tę granicę można było zapisać czytelniej używając tylko jednej pary nawiasów.

JK

[Dasio11]

Wtedy mogłoby wyglądać, że \(\displaystyle{ \ln}\) jest pod sumą.

[Jan Kraszewski]

Wtedy mogłoby wyglądać, że \(\displaystyle{ \ln}\) jest pod sumą.

Czyżby?

\(\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left(- \ln n+ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right)}\).

JK

[Rogal]

Ponadto, moim zdaniem, aby ten logarytm miał być pod sumą, to wtedy należałoby dodatkowo to zaznaczyć nawiasami. Taki zapis nie implikuje bynajmniej tego, że logarytm jest pod sumą:
\(\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right)}\)